IME / ITA ⇒ (ITA) Geometria Plana Tópico resolvido

[Helx]

O comprimento da diagonal de um pentágono regular medindo 1 unidade é gual a raiz positiva de:

(A) [tex3]x^2 + x - 2 = 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2 + x - 2 = 0[/tex3]

(B) [tex3]x^2 - x - 2 = 0[/tex3]

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[tex3]x^2 - x - 2 = 0[/tex3]

(C) [tex3]x^2 - 2x + 2 = 0[/tex3]

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[tex3]x^2 - 2x + 2 = 0[/tex3]

(D) [tex3]x^2 + x - 1 = 0[/tex3]

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[tex3]x^2 + x - 1 = 0[/tex3]

(E) [tex3]x^2 - x - 1 = 0[/tex3]

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[tex3]x^2 - x - 1 = 0[/tex3]

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Resposta

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Resposta (E)

[victoria]

Olá Helx,

tive que dar uma pesquisada pois não me lembrava da propriedade:
pela incomensurabilidade do pentágono regular (a incomensurabilidade de duas grandezas se refere ao fato de sua razão não poder ser expressa por números racionais)

tem-se que a razão entre a diagonal e o lado do pentágono=[tex3]\frac{1+\sqrt 5}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{1+\sqrt 5}{2}[/tex3]

Logo, nesse problema:
l=lado do pentágono
d= diagonal do pentágono

temos: [tex3]\frac{d}{l} = \frac{1+\sqrt 5}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{d}{l} = \frac{1+\sqrt 5}{2}[/tex3]

como l=1,

d=[tex3]\frac{1+\sqrt 5}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{1+\sqrt 5}{2}[/tex3]

, que é raiz de [tex3]x^{2}-x-1[/tex3]

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[tex3]x^{2}-x-1[/tex3]

, uma vez que, por Bhaskara:

[tex3]\frac{1+\sqrt 5}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{1+\sqrt 5}{2}[/tex3]

ou [tex3]\frac{1-\sqrt 5}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{1-\sqrt 5}{2}[/tex3]

porém só é valido a primeira: [tex3]\frac{1+\sqrt 5}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{1+\sqrt 5}{2}[/tex3]

Portanto, ALTERNATIVA E

Espero ter ajudado,

[Helx]

Então esta razão deve ser decorada? Como faço para chegar a essa razão?

[FilipeCaceres]

Olá Helx,

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Usando o Teorema de Ptolomeu é imediato.

[tex3]xx=x.1+1.1[/tex3]

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[tex3]xx=x.1+1.1[/tex3]

Assim temos,
[tex3]x^2-x-1=0[/tex3]

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[tex3]x^2-x-1=0[/tex3]

.Letra E

Abraço.

[Helx]

Bem melhor agora. Obrigado!

[Agash]

Nunca pensaria em usar o teorema de ptolomeu.. Boa ideia... = ]

[paulojorge]

Tenho uma dúvida. No caso do Teorema do Ptolomeu, como eu saberia que o polígono dado era inscrítivel na circunferência? Já que ele não diz no enunciado.

Alguém pode me ajudar?

[Ittalo25]

Tenho uma dúvida. No caso do Teorema do Ptolomeu, como eu saberia que o polígono dado era inscrítivel na circunferência? Já que ele não diz no enunciado.

Alguém pode me ajudar?

Todo polígono regular é inscritível a uma circunferência.
A demonstração começa já na segunda página:

http://www.professores.uff.br/dirceuesu/GBaula11.pdf

[paulojorge]

Obrigado mais uma vez Italo!

[simas]

Tem uma solução simples usando apenas semelhança de triângulos e a soma dos ângulos internos de um pentágono. Eu escrevi como solução de uma lista de exercícios para meus estudantes e coloco aqui como imagem para evitar a fadiga. =)