O número [tex3]10^{2002}-1[/tex3]
é divisível por [tex3]2003[/tex3]
. A soma do [tex3]11111111^\circ[/tex3]
com o [tex3]11111112^\circ[/tex3]
algarismo após a vírgula da expansão decimal de [tex3]\frac{1}{2003}[/tex3]
é igual a:
a) [tex3]1[/tex3]
b) [tex3]6[/tex3]
c) [tex3]3[/tex3]
d) [tex3]9[/tex3]
e) [tex3]5[/tex3]
Olimpíadas ⇒ Conjuntos Numéricos: Expansão Decimal Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Nov 2006
20
17:34
Conjuntos Numéricos: Expansão Decimal
Última edição: caju (Ter 21 Jan, 2020 13:57). Total de 3 vezes.
Razão: tex --> tex3
Razão: tex --> tex3
-
caju
- Mensagens: 2136
- Registrado em: Qui 19 Out, 2006 15:03
- Última visita: 12-04-24
- Localização: Rio de Janeiro
- Contato:
Nov 2006
22
08:52
Re: Conjuntos Numéricos: Expansão Decimal
Olá Filipe,
Se o número [tex3]10^{2002}-1[/tex3] é divisível por [tex3]2003[/tex3] , podemos escrever:
[tex3]\frac{10^{2002}-1}{2003}=k[/tex3] , com [tex3]k[/tex3] sendo um inteiro
[tex3]\frac{1}{2003}=\frac{k}{10^{2002}-1}[/tex3]
Note que, [tex3]10^n-1[/tex3] é um número do tipo [tex3]99999\ldots 99[/tex3] , com [tex3]n[/tex3] algarismos [tex3]9[/tex3] . Por exemplo, [tex3]10^4-1=9999[/tex3] .
Portanto, [tex3]\frac{k}{10^{2002}-1}=\frac{k}{9999\ldots 99}[/tex3] , com [tex3]2002[/tex3] algarismos [tex3]9[/tex3] , é uma dízima periódica com período [tex3]k[/tex3] (onde [tex3]k[/tex3] tem [tex3]2002[/tex3] algarismos).
Se dividirmos [tex3]11111111[/tex3] por [tex3]2002[/tex3] , resulta [tex3]5550[/tex3] e sobra [tex3]11[/tex3] , ou seja, o [tex3]11111111^\circ[/tex3] algarismo da expansão decimal é igual ao [tex3]11^\circ[/tex3] algarismo.
Dividindo [tex3]11111112[/tex3] por [tex3]2002[/tex3] , resulta [tex3]5550[/tex3] e sobra [tex3]12[/tex3] , ou seja, o [tex3]11111112^\circ[/tex3] algarismo da expansão decimal é igual ao [tex3]12^\circ[/tex3] algarismo.
Efetuando a divisão, no braço, temos:
[tex3]\frac{1}{2003}=0,000499251123[/tex3]
Note que o [tex3]11^\circ[/tex3] algarismo é [tex3]2[/tex3] e o [tex3]12^\circ[/tex3] algarismo é [tex3]3[/tex3] , somando resulta [tex3]2+3=5[/tex3] .
Atenciosamente
Prof. Caju
WebMaster TutorBrasil.com.br
Se o número [tex3]10^{2002}-1[/tex3] é divisível por [tex3]2003[/tex3] , podemos escrever:
[tex3]\frac{10^{2002}-1}{2003}=k[/tex3] , com [tex3]k[/tex3] sendo um inteiro
[tex3]\frac{1}{2003}=\frac{k}{10^{2002}-1}[/tex3]
Note que, [tex3]10^n-1[/tex3] é um número do tipo [tex3]99999\ldots 99[/tex3] , com [tex3]n[/tex3] algarismos [tex3]9[/tex3] . Por exemplo, [tex3]10^4-1=9999[/tex3] .
Portanto, [tex3]\frac{k}{10^{2002}-1}=\frac{k}{9999\ldots 99}[/tex3] , com [tex3]2002[/tex3] algarismos [tex3]9[/tex3] , é uma dízima periódica com período [tex3]k[/tex3] (onde [tex3]k[/tex3] tem [tex3]2002[/tex3] algarismos).
Se dividirmos [tex3]11111111[/tex3] por [tex3]2002[/tex3] , resulta [tex3]5550[/tex3] e sobra [tex3]11[/tex3] , ou seja, o [tex3]11111111^\circ[/tex3] algarismo da expansão decimal é igual ao [tex3]11^\circ[/tex3] algarismo.
Dividindo [tex3]11111112[/tex3] por [tex3]2002[/tex3] , resulta [tex3]5550[/tex3] e sobra [tex3]12[/tex3] , ou seja, o [tex3]11111112^\circ[/tex3] algarismo da expansão decimal é igual ao [tex3]12^\circ[/tex3] algarismo.
Efetuando a divisão, no braço, temos:
[tex3]\frac{1}{2003}=0,000499251123[/tex3]
Note que o [tex3]11^\circ[/tex3] algarismo é [tex3]2[/tex3] e o [tex3]12^\circ[/tex3] algarismo é [tex3]3[/tex3] , somando resulta [tex3]2+3=5[/tex3] .
Atenciosamente
Prof. Caju
WebMaster TutorBrasil.com.br
Última edição: caju (Ter 21 Jan, 2020 13:57). Total de 4 vezes.
Razão: tex --> tex3
Razão: tex --> tex3
Jan 2014
20
08:35
Re: Conjuntos Numéricos: Expansão Decimal
Eu não entendi umas passagens.
1° - Não entendi o porque de [tex3]\frac{1}{2003}=\frac{k}{10^{2002}-1}[/tex3] ;
2° - Não entendi o porque de [tex3]\frac{k}{999...999}[/tex3] ser um dízima periódica com período k e k ter 2002 algarismos;
3° - Não entendi o porque de você ter dividido [tex3]11111111[/tex3] e [tex3]111111112[/tex3] por [tex3]2002[/tex3] .
1° - Não entendi o porque de [tex3]\frac{1}{2003}=\frac{k}{10^{2002}-1}[/tex3] ;
2° - Não entendi o porque de [tex3]\frac{k}{999...999}[/tex3] ser um dízima periódica com período k e k ter 2002 algarismos;
3° - Não entendi o porque de você ter dividido [tex3]11111111[/tex3] e [tex3]111111112[/tex3] por [tex3]2002[/tex3] .
Última edição: caju (Ter 21 Jan, 2020 13:58). Total de 3 vezes.
Razão: tex --> tex3
Razão: tex --> tex3
-
caju
- Mensagens: 2136
- Registrado em: Qui 19 Out, 2006 15:03
- Última visita: 12-04-24
- Localização: Rio de Janeiro
- Contato:
Jan 2014
20
09:11
Re: Conjuntos Numéricos: Expansão Decimal
Olá menelaus,
A resposta para suas duas primeiras dúvidas estão na própria resolução:
1° - Não entendi o porque de [tex3]\frac{1}{2003}=\frac{k}{10^{2002}-1}[/tex3];
Assim, efetuei a divisão e igualei a um número inteiro, pois são divisíveis:
[tex3]\frac{10^{2002}-1}{2003}=k[/tex3]
Depois só rearranjei a equação acima para para ficar mais de acordo com o que o enunciado estava pedindo.
[tex3]\frac{1}{2003}=\frac{k}{10^{2002}-1}[/tex3]
2° - Não entendi o porque de [tex3]\frac{k}{999...999}[/tex3] ser um dízima periódica com período k e k ter 2002 algarismos;
Todo número dividido por um segundo número que possua apenas algarismos [tex3]9[/tex3] será ou uma dízima periódica, ou uma divisão exata. Nesse caso, não é uma divisão exata, portanto é uma dízima periódica.
A regra para formarmos uma dízima periódica é pegar o período desta dízima (algarismos que se repetem) e dividir por um número formado apenas por algarismos [tex3]9[/tex3] , na quantidade igual a quantidade de algarismos no período.
Por exemplo, a dízima periódica [tex3]0,456456456...[/tex3] tem período [tex3]456[/tex3] ([tex3]3[/tex3] algarismos). Portanto, podemos escrevê-la como:
[tex3]0,456456456... = \frac{456}{999}[/tex3]
Outro exemplo, a dízima [tex3]0,125891258912589....[/tex3] tem período [tex3]12589[/tex3] e pode ser escrita como:
[tex3]0,125891258912589....=\frac{12589}{99999}[/tex3]
3° - Não entendi o porque de você ter dividido 11111111 e 111111112 por 2002.
Se a dízima periódica tem um período com [tex3]2002[/tex3] algarismos, a cada [tex3]2002[/tex3] algarismos eles irão se repetir.
Veja os exemplos anteriores:
[tex3]0,456456456...[/tex3] tem período [tex3]456[/tex3] , com [tex3]3[/tex3] algarismos. Assim, podemos dizer que o quarto algarismo será igual ao primeiro, o quinto será igual ao segundo... o [tex3]1256^\circ[/tex3] algarismo será igual a qual? Para descobrir, dividimos o [tex3]1256[/tex3] por [tex3]3[/tex3] (qtd de algarismos no período) e pegamos o resto. Assim, o [tex3]1256^\circ[/tex3] algarismo será igual ao segundo algarismo, pois [tex3]1256[/tex3] dividido por [tex3]3[/tex3] dá resto [tex3]2[/tex3] .
Grande abraço,
Prof. Caju
A resposta para suas duas primeiras dúvidas estão na própria resolução:
1° - Não entendi o porque de [tex3]\frac{1}{2003}=\frac{k}{10^{2002}-1}[/tex3];
Veja que o enunciado afirma que [tex3]10^{2002}-1[/tex3] é divisível por [tex3]2003[/tex3] . Um número, quando é divisível por outro, significa que se você dividir um pelo outro, o resultado será um número inteiro, esta é a definição de "ser divisível".Se o número [tex3]10^{2002}-1[/tex3] é divisível por [tex3]2003[/tex3] , podemos escrever:
[tex3]\frac{10^{2002}-1}{2003}=k[/tex3] , com [tex3]k[/tex3] sendo um inteiro
Assim, efetuei a divisão e igualei a um número inteiro, pois são divisíveis:
[tex3]\frac{10^{2002}-1}{2003}=k[/tex3]
Depois só rearranjei a equação acima para para ficar mais de acordo com o que o enunciado estava pedindo.
[tex3]\frac{1}{2003}=\frac{k}{10^{2002}-1}[/tex3]
2° - Não entendi o porque de [tex3]\frac{k}{999...999}[/tex3] ser um dízima periódica com período k e k ter 2002 algarismos;
Todo número dividido por um segundo número que possua apenas algarismos [tex3]9[/tex3] será ou uma dízima periódica, ou uma divisão exata. Nesse caso, não é uma divisão exata, portanto é uma dízima periódica.
A regra para formarmos uma dízima periódica é pegar o período desta dízima (algarismos que se repetem) e dividir por um número formado apenas por algarismos [tex3]9[/tex3] , na quantidade igual a quantidade de algarismos no período.
Por exemplo, a dízima periódica [tex3]0,456456456...[/tex3] tem período [tex3]456[/tex3] ([tex3]3[/tex3] algarismos). Portanto, podemos escrevê-la como:
[tex3]0,456456456... = \frac{456}{999}[/tex3]
Outro exemplo, a dízima [tex3]0,125891258912589....[/tex3] tem período [tex3]12589[/tex3] e pode ser escrita como:
[tex3]0,125891258912589....=\frac{12589}{99999}[/tex3]
3° - Não entendi o porque de você ter dividido 11111111 e 111111112 por 2002.
Se a dízima periódica tem um período com [tex3]2002[/tex3] algarismos, a cada [tex3]2002[/tex3] algarismos eles irão se repetir.
Veja os exemplos anteriores:
[tex3]0,456456456...[/tex3] tem período [tex3]456[/tex3] , com [tex3]3[/tex3] algarismos. Assim, podemos dizer que o quarto algarismo será igual ao primeiro, o quinto será igual ao segundo... o [tex3]1256^\circ[/tex3] algarismo será igual a qual? Para descobrir, dividimos o [tex3]1256[/tex3] por [tex3]3[/tex3] (qtd de algarismos no período) e pegamos o resto. Assim, o [tex3]1256^\circ[/tex3] algarismo será igual ao segundo algarismo, pois [tex3]1256[/tex3] dividido por [tex3]3[/tex3] dá resto [tex3]2[/tex3] .
Grande abraço,
Prof. Caju
Última edição: caju (Ter 21 Jan, 2020 13:58). Total de 2 vezes.
Razão: tex --> tex3
Razão: tex --> tex3
"A beleza de ser um eterno aprendiz..."
Jan 2014
20
20:03
Re: Conjuntos Numéricos: Expansão Decimal
Olá a todos,
Para melhorar a ilustração de uma maneira um pouco "diferente" :
O número é divísivel por 2003 pelo fato do Pequeno Teorema de Fermat.
[tex3]a^p \equiv a \pmod{p}\implies a^{p-1} -1\equiv 0 \pmod{p}[/tex3]
O problema é equivalente a encontrar a soma dos dois primeiros dígitos após a expensão decimal disso :
[tex3]\boxed{\frac{10^{11111110}}{2003}}[/tex3]
Sabemos que 11111110 quando dividido por 2002, deixa resto 10.
[tex3]11111110 = x \cdot 2002 + 10[/tex3]
Agora :
[tex3]\frac{10^{2002}-1}{2003}=k \implies {10^{2002}-1}=2003k \implies \boxed{{10^{2002y}-1}=2003k}[/tex3] , pois [tex3]10^{2002y}-1[/tex3] é fator de [tex3]10^{2002}-1[/tex3] , então [tex3]2003|10^{2002y}-1[/tex3] e agora usamos alguma manipulações algébricas até chegarmos em :
[tex3]\frac{10^{11111110}}{2003}=\frac{10^{2002x+10}}{2003}=\frac{\overbrace{(10^{2002x}-1)}^{2003k}\cdot10^{10}}{2003}+\frac{10^{10}}{2003}=10^{10}k+4992511,\boxed{23}3150275[/tex3]
Logo, 11111111º e 111111112º dígitos são, 2 e 3, portanto sua suma é 5.
Um forte abraço à todos.
Para melhorar a ilustração de uma maneira um pouco "diferente" :
O número é divísivel por 2003 pelo fato do Pequeno Teorema de Fermat.
[tex3]a^p \equiv a \pmod{p}\implies a^{p-1} -1\equiv 0 \pmod{p}[/tex3]
O problema é equivalente a encontrar a soma dos dois primeiros dígitos após a expensão decimal disso :
[tex3]\boxed{\frac{10^{11111110}}{2003}}[/tex3]
Sabemos que 11111110 quando dividido por 2002, deixa resto 10.
[tex3]11111110 = x \cdot 2002 + 10[/tex3]
Agora :
[tex3]\frac{10^{2002}-1}{2003}=k \implies {10^{2002}-1}=2003k \implies \boxed{{10^{2002y}-1}=2003k}[/tex3] , pois [tex3]10^{2002y}-1[/tex3] é fator de [tex3]10^{2002}-1[/tex3] , então [tex3]2003|10^{2002y}-1[/tex3] e agora usamos alguma manipulações algébricas até chegarmos em :
[tex3]\frac{10^{11111110}}{2003}=\frac{10^{2002x+10}}{2003}=\frac{\overbrace{(10^{2002x}-1)}^{2003k}\cdot10^{10}}{2003}+\frac{10^{10}}{2003}=10^{10}k+4992511,\boxed{23}3150275[/tex3]
Logo, 11111111º e 111111112º dígitos são, 2 e 3, portanto sua suma é 5.
Um forte abraço à todos.
Última edição: caju (Ter 21 Jan, 2020 13:58). Total de 2 vezes.
Razão: tex --> tex3
Razão: tex --> tex3
-
- Tópicos Semelhantes
- Respostas
- Exibições
- Última msg
-
- 0 Respostas
- 384 Exibições
-
Última msg por MrGHerbert77
-
- 0 Respostas
- 582 Exibições
-
Última msg por Pietra
-
- 0 Respostas
- 262 Exibições
-
Última msg por fab12
-
- 8 Respostas
- 2402 Exibições
-
Última msg por Crawboss
