Ensino MédioGeometria Plana: Área do Círculo e sua Partes

Problemas sobre assuntos estudados no Ensino Médio devem ser postados aqui. Se o problema for de Vestibular, poste-o no fórum Pré-Vestibular

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rean
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Geometria Plana: Área do Círculo e sua Partes

Mensagem não lida por rean »

Calcule a área do círculo sombreado, sabendo que [tex3]\overline{AB}=2[/tex3] e [tex3]\overline{BC}=4.[/tex3]
  • AC58.png
    AC58.png (13.64 KiB) Exibido 1202 vezes
Resposta:

[tex3]\frac{36\pi}{49}[/tex3]

Última edição: rean (Qui 04 Out, 2007 09:32). Total de 1 vez.



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edu_landim
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Re: Geometria Plana: Área do Círculo e sua Partes

Mensagem não lida por edu_landim »

AC57.png
AC57.png (16.52 KiB) Exibido 1179 vezes
Agora basta aplicar a lei dos cossenos nos dois triângulos menores formados usando os ângulos suplementares adjacentes existentes nos triângulos.
  • [tex3](1+r)^2=2^2+(3-r)^2-2\cdot 2\cdot (3-r)\cdot \cos \alpha[/tex3]
e
  • [tex3](2+r)^2=1^2+(3-r)^2-2\cdot 1\cdot (3-r)\cdot \cos (180^\circ - \alpha)[/tex3]
Lembrando que [tex3]\cos (180^\circ-\alpha) =-\cos \alpha ,[/tex3] podemos multiplicar por [tex3]2[/tex3] ambos os membros da segunda equação, somando-as a seguir . Assim temos
  • [tex3](1+r)^2+2(2+r)^2=6+3(3-r)^2[/tex3]

    [tex3]1+2r+r^2+8+8r+2r^2=6+27-18r+3r^2[/tex3]

    [tex3]28r=24[/tex3]

    [tex3]r=\frac{6}{7}\Rightarrow\pi \cdot r^2 = \frac{36}{49}\pi[/tex3]

Última edição: edu_landim (Sáb 06 Out, 2007 11:27). Total de 1 vez.


Deus escreve Matemática, mas poucos conseguem entender o mundo.

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