O produto das distâncias de um ponto qualquer M de uma circunferência aos 2 lados opostos de um quadrilátero inscrito é igual ao produto das distâncias do mesmo ponto aos outros 2 lados. Provar.
Ja tentei Ptolomeu, encontrar semelhança e arco capaz mais nao saiu nada. Tentem ae.
PS.: Gostaria de saber quem postou esta questão inicialmente.
Agradeço desde já.
Olimpíadas ⇒ Geometria Plana Tópico resolvido
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caju
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05
18:58
Re: Geometria Plana
Olá FilipeCaceres,
Vamos começar com o desenho do enunciado juntamente com alguns traços auxiliares:
[tex3]ABCD[/tex3]
é o quadrilátero do enunciado. [tex3]MD[/tex3]
e [tex3]MB[/tex3]
são os traços auxiliares.
Já que [tex3]ABMD[/tex3] é um quadrilátero inscritível (por construção), temos, pela propriedade de quadriláteros inscritíveis, que os ângulos [tex3]\widehat{MDA}=180^{\circ}-\widehat{MBA}[/tex3] . Logo, é fácil de ver que os ângulos [tex3]\widehat{MDQ}=\widehat{MBR}[/tex3] .
Com esta igualdade de ângulos, vemos que os triângulos MQD e MRB são semelhantes por AAA (Ângulo-Ângulo-Ângulo). Aplicando a semelhança:
[tex3]\frac{MQ}{MR}=\frac{MD}{MB}[/tex3]
Com o mesmo raciocínio, encontramos os triângulos MSD e MPB semelhantes. Aplicando semelhança, temos:
[tex3]\frac{MS}{MP}=\frac{MD}{MB}[/tex3]
Os lados direitos das duas semelhanças acima são idênticos, podemos igualar:
[tex3]\frac{MQ}{MR}=\frac{MS}{MP}\,\,\rightarrow \,\,\boxed{\boxed{\Large MQ\times MP = MS\times MR}}[/tex3]
Como queríamos demonstrar.
Grande abraço,
Prof. Caju
Vamos começar com o desenho do enunciado juntamente com alguns traços auxiliares:
- Screen Shot 2012-02-05 at 18.51.52.png (25.67 KiB) Exibido 1477 vezes
Já que [tex3]ABMD[/tex3] é um quadrilátero inscritível (por construção), temos, pela propriedade de quadriláteros inscritíveis, que os ângulos [tex3]\widehat{MDA}=180^{\circ}-\widehat{MBA}[/tex3] . Logo, é fácil de ver que os ângulos [tex3]\widehat{MDQ}=\widehat{MBR}[/tex3] .
Com esta igualdade de ângulos, vemos que os triângulos MQD e MRB são semelhantes por AAA (Ângulo-Ângulo-Ângulo). Aplicando a semelhança:
[tex3]\frac{MQ}{MR}=\frac{MD}{MB}[/tex3]
Com o mesmo raciocínio, encontramos os triângulos MSD e MPB semelhantes. Aplicando semelhança, temos:
[tex3]\frac{MS}{MP}=\frac{MD}{MB}[/tex3]
Os lados direitos das duas semelhanças acima são idênticos, podemos igualar:
[tex3]\frac{MQ}{MR}=\frac{MS}{MP}\,\,\rightarrow \,\,\boxed{\boxed{\Large MQ\times MP = MS\times MR}}[/tex3]
Como queríamos demonstrar.
Grande abraço,
Prof. Caju
Última edição: caju (Sex 21 Set, 2018 10:29). Total de 2 vezes.
Razão: tex --> tex3
Razão: tex --> tex3
"A beleza de ser um eterno aprendiz..."
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FilipeCaceres - Mensagens: 2504
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Fev 2012
05
21:27
Re: Geometria Plana
Agora me lembrei desta questão, foi a primeira questão que tentei mover de lugar depois que virei moderador, mas como vocês podem ver fiz isso errado 
Tive que postar novamente, porém até hoje não descobri quem havia postado originalmente.
Tive que postar novamente, porém até hoje não descobri quem havia postado originalmente.
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