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Mensagem não lidapor **lecko** » Sáb 21 Mai, 2011 12:48 · Mensagem não lida por **lecko** » Sáb 21 Mai, 2011 12:48

Na figura abaixo tem-se três semi-circunferências. A menor circunferência é tangente à duas das semi-circunferências e à reta [tex3]PQ[/tex3] perpendicular ao diâmetro [tex3]AB[/tex3] . A área da região hachurada (Cinza escuro) é igual a [tex3]39\picm^{2}[/tex3] e a área do menor círculo é [tex3]9\picm^{2}[/tex3] . Determine o comprimento do diâmetro [tex3]AB[/tex3] .

: FIGURA2.JPG (18.93 KiB) Exibido 3071 vezes

a) [tex3]16cm[/tex3]
b) [tex3]22cm[/tex3]
c) [tex3]28cm[/tex3]
d) [tex3]32cm[/tex3]
e) [tex3]38cm[/tex3]

Mensagem não lidapor **lftm** » Sáb 21 Mai, 2011 14:50 · Mensagem não lida por **lftm** » Sáb 21 Mai, 2011 14:50

Chame de [tex3]a[/tex3] o raio da semi-circunferência de diâmetro [tex3]AQ[/tex3] e [tex3]b[/tex3] o raio da semi-circunferência de diâmetro [tex3]QB[/tex3] .

A área do menor círculo é

[tex3]\pi r^2 = 9\pi \Rightarrow r=3[/tex3] .

A área da região cinza é

[tex3]\frac{\pi(a+b)^2}{2}- \frac{\pi a^2}{2} - \frac{\pi b^2}{2} - 9\pi = 39\pi \Rightarrow (a+b)^2 - a^2 - b^2 = 96 \Rightarrow ab=48 \Rightarrow a = \frac{48}{b}[/tex3]

Pelo centro [tex3]C[/tex3] do círculo menor, trace uma perpendicular ao segmento [tex3]AB[/tex3] , que se encontra com ele no ponto [tex3]D[/tex3] , chame de [tex3]T[/tex3] o centro do semicírculo de diâmetro [tex3]QB[/tex3] e de [tex3]O[/tex3] o centro do semicírculo de diâmetro [tex3]AB[/tex3] .

Temos que o lado [tex3]TC=b+3[/tex3] e [tex3]TD=b-3[/tex3] . O raio do semicírculo maior é metade de seu diâmetro, ou seja, [tex3]a+b[/tex3] .

Assim, o círculo menor está a uma distância [tex3]OC=a+b-3[/tex3] do centro O do semicírculo grande e também pode-se ver que [tex3]OD=a-b+3[/tex3] . Como os triângulos [tex3]OCD[/tex3] e [tex3]OTD[/tex3] são retângulos, temos a segunda relação, vinda do teorema de Pitágoras:

[tex3](a+b-3)^2 - (a-b+3)^2 = (b+3)^2 - (b-3)^2 \Rightarrow 2a(2b-6)=12b \Rightarrow\frac{96}{b}(2b-6) = 12b \Rightarrow b^2 - 16b + 48 =0[/tex3] .

Resolvendo a equação do segundo grau, temos duas soluções: [tex3](a,b)=(12,4)[/tex3] ou [tex3](a,b)=(4,12)[/tex3] . Só a primeira é válida, pois [tex3]b<a[/tex3] .

Assim, o comprimento do segmento AB vale [tex3]2(a+b) = 2 \cdot 16 = 32 cm[/tex3] . Letra D

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