[tex3]L = R \,\cdot \,\Large\frac{\sqrt{5}\,-\,1}{2}\large.[/tex3]
Se eu não me engano esse é o número áureo.
Vlw gente, ajudem ai por favor.
Ensino Médio ⇒ Demonstração: Lado do Decágono Regular em Função do Raio
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rui_miguel 
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Set 2007
23
12:37
Demonstração: Lado do Decágono Regular em Função do Raio
Sendo [tex3]L[/tex3]
a medida do lado de um decágono regular e [tex3]R[/tex3]
o raio da circunferência que cincunscreve esse decágono, demonstre que:
Se eu não me engano esse é o número áureo.
Vlw gente, ajudem ai por favor.
Se eu não me engano esse é o número áureo.
Vlw gente, ajudem ai por favor.
Última edição: rui_miguel (Dom 23 Set, 2007 12:37). Total de 1 vez.
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italoemanuell 
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Set 2007
24
12:12
Demonstração
Olá rui_miguel!!
Seja bem vindo ao forum!!
Na figura, dado o raio [tex3]R,[/tex3] calcule o [tex3]\ell_{10}[/tex3] (lado do decágono regular).
Sendo [tex3]A\hat{O}B=\ell_{10},[/tex3]
então [tex3]A\hat{O}B= \frac{1}{10}.360^\circ=36^\circ \Longrightarrow \hat{A}=\hat{B}=72^\circ.[/tex3]
Conduzindo [tex3]BC,[/tex3] bissetriz de [tex3]\hat{B},[/tex3] vem:
[tex3]\Delta BAC[/tex3] é isósceles [tex3](\hat{A}=\hat{C} = 72^\circ) \Longrightarrow \bar{BC}=\ell_{10}[/tex3]
[tex3]\Delta COB[/tex3] é isósceles [tex3](\hat{O}=\hat{B} =36^\circ) \Longrightarrow \bar{OC}=\bar{BC}=\ell_{10}[/tex3]
Então:
[tex3]\bar{OC}=\ell_{10}[/tex3] e [tex3]\bar{CA}=R-\ell_{10}[/tex3] .
Aplicando o teorema da bissetriz interna [tex3](BC[/tex3] é bissetriz no [tex3]\Delta AOB),[/tex3] vem:
[tex3]\frac{\ell_{10}}{R}= \frac{R-\ell_{10}}{\ell_{10}} \Longrightarrow \ell_{10}^2 =R\cdot (R- \ell_{10}) \Longrightarrow \ell_{10} = \frac{-R\pm R\cdot \sqrt {5}}{2},[/tex3]
Desprezando a solução negativa que não convém,temos:
[tex3]\ell_{10} = \frac{\sqrt 5-1}{2}\cdot R[/tex3] .
Obs.: O [tex3]\ell_{10}[/tex3] é o segmento áureo do raio.
Espero ter ajudado....
______________
"Sem a Matemática, não poderia haver Astronomia; sem os recursos maravilhosos da Astronomia, seria completamente impossível a navegação. E a navegação foi o fator máximo do progresso da humanidade. (Amoroso Costa)"
Seja bem vindo ao forum!!
Na figura, dado o raio [tex3]R,[/tex3] calcule o [tex3]\ell_{10}[/tex3] (lado do decágono regular).
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Conduzindo [tex3]BC,[/tex3] bissetriz de [tex3]\hat{B},[/tex3] vem:
[tex3]\Delta BAC[/tex3] é isósceles [tex3](\hat{A}=\hat{C} = 72^\circ) \Longrightarrow \bar{BC}=\ell_{10}[/tex3]
[tex3]\Delta COB[/tex3] é isósceles [tex3](\hat{O}=\hat{B} =36^\circ) \Longrightarrow \bar{OC}=\bar{BC}=\ell_{10}[/tex3]
Então:
[tex3]\bar{OC}=\ell_{10}[/tex3] e [tex3]\bar{CA}=R-\ell_{10}[/tex3] .
Aplicando o teorema da bissetriz interna [tex3](BC[/tex3] é bissetriz no [tex3]\Delta AOB),[/tex3] vem:
[tex3]\frac{\ell_{10}}{R}= \frac{R-\ell_{10}}{\ell_{10}} \Longrightarrow \ell_{10}^2 =R\cdot (R- \ell_{10}) \Longrightarrow \ell_{10} = \frac{-R\pm R\cdot \sqrt {5}}{2},[/tex3]
Desprezando a solução negativa que não convém,temos:
[tex3]\ell_{10} = \frac{\sqrt 5-1}{2}\cdot R[/tex3] .
Obs.: O [tex3]\ell_{10}[/tex3] é o segmento áureo do raio.
Espero ter ajudado....
______________
"Sem a Matemática, não poderia haver Astronomia; sem os recursos maravilhosos da Astronomia, seria completamente impossível a navegação. E a navegação foi o fator máximo do progresso da humanidade. (Amoroso Costa)"
Última edição: italoemanuell (Seg 24 Set, 2007 12:12). Total de 1 vez.
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