Ensino Superior ⇒ Integral Trigonometrica??? Tópico resolvido

[Sax23]

Boa noite gostaria de saber como faço estas questões.
Não consigo resolvê-las.
Ainda não sei postar da forma que pede vou escrever espero que entendam são 3 questões.
Calcule a integral de 1sobre x ao quadrado menos 4 dx.
Calcule a integral de x sobre 1 mais x ao quadrado dx.

[Cardoso1979]

Observe

Como são duas questões, irei resolver somente uma ( veja as regras deste fórum ) , seguindo a ordem resolverei a primeira

Solução:

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{1}{x^2-4}dx=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{1}{x^2-4}dx=[/tex3]

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{1}{(x+2)(x-2)}dx=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{1}{(x+2)(x-2)}dx=[/tex3]

Então;

[tex3]\frac{1}{(x+2)(x-2)}=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-2}=\frac{A.(x-2)+B.(x+2)}{(x+2)(x-2)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{(x+2)(x-2)}=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-2}=\frac{A.(x-2)+B.(x+2)}{(x+2)(x-2)}[/tex3]

[tex3]\frac{1}{(x+2)(x-2)}=\frac{(A+B).x-2A+2B}{(x+2)(x-2)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{(x+2)(x-2)}=\frac{(A+B).x-2A+2B}{(x+2)(x-2)}[/tex3]

[tex3]\frac{0.x+1}{(x+2)(x-2)}=\frac{(A+B).x+(-2A+2B)}{(x+2)(x-2)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{0.x+1}{(x+2)(x-2)}=\frac{(A+B).x+(-2A+2B)}{(x+2)(x-2)}[/tex3]

Comparando os termos, obtemos o sistema abaixo:

[tex3]\begin{cases}
A+B=0 →A=-B→A=-\frac{1}{4}\\
-2A+2B=1→2B+2B=1→B=\frac{1}{4}
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
A+B=0 →A=-B→A=-\frac{1}{4}\\
-2A+2B=1→2B+2B=1→B=\frac{1}{4}
\end{cases}[/tex3]

Assim,

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{1}{x^2-4}dx=\int\limits_{}^{}\frac{1}{(x+2)(x-2)}dx=\int\limits_{}^{}\frac{-\frac{1}{4}}{x+2}dx+\int\limits_{}^{}\frac{\frac{1}{4}}{x-2}dx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{1}{x^2-4}dx=\int\limits_{}^{}\frac{1}{(x+2)(x-2)}dx=\int\limits_{}^{}\frac{-\frac{1}{4}}{x+2}dx+\int\limits_{}^{}\frac{\frac{1}{4}}{x-2}dx[/tex3]

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{1}{x^2-4}dx=-\frac{1}{4}.\int\limits_{}^{}\frac{1}{x+2}dx+\frac{1}{4}.\int\limits_{}^{}\frac{1}{x-2}dx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{1}{x^2-4}dx=-\frac{1}{4}.\int\limits_{}^{}\frac{1}{x+2}dx+\frac{1}{4}.\int\limits_{}^{}\frac{1}{x-2}dx[/tex3]

Portanto,

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{1}{x^2-4}dx=-\frac{1}{4}.ln|x+2|+\frac{1}{4}.ln|x-2|+C[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{1}{x^2-4}dx=-\frac{1}{4}.ln|x+2|+\frac{1}{4}.ln|x-2|+C[/tex3]

Ou

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{1}{x^2-4}dx=\frac{1}{4}.[ln|x-2|-ln|x+2|]+C[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{1}{x^2-4}dx=\frac{1}{4}.[ln|x-2|-ln|x+2|]+C[/tex3]

Ou

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{1}{x^2-4}dx=\frac{1}{4}.[ln|2-x|-ln|x+2|]+C[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{1}{x^2-4}dx=\frac{1}{4}.[ln|2-x|-ln|x+2|]+C[/tex3]

Nota

Obviamente que existem outras formas de representar essa mesma resposta



Bons estudos!