IME / ITA(ITA - 1992) Binômio de Newton Tópico resolvido

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

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brain_tnt
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(ITA - 1992) Binômio de Newton

Mensagem não lida por brain_tnt »

A igualdade
  • [tex3]\sum_{k=0}^n(-1)^k\cdot {n\choose k}\cdot 7^n+\sum_{j=0}^{m} {m\choose j}\cdot 2^m=64[/tex3]
é válida para:

a) quaisquer que sejam [tex3]n[/tex3] e [tex3]m[/tex3] naturais e positivos.
b) qualquer que seja [tex3]n[/tex3] natural positivo e [tex3]m=3.[/tex3]
c) [tex3]n=13[/tex3] e [tex3]m=6.[/tex3]
d) [tex3]n[/tex3] ímpar e [tex3]m[/tex3] par.
e) n.d.a.

Última edição: caju (Qui 19 Abr, 2018 20:38). Total de 2 vezes.
Razão: tex --> tex3



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caju
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Re: (ITA - 1992) Binômio de Newton

Mensagem não lida por caju »

Olá brain_tnt,

Note que podemos modificar os somatórios para que eles mostrem exatamente a representação da expansão de dois binômios de Newton:
  • [tex3]\sum_{k=0}^n(-1)^k\cdot {n\choose k}\cdot 7^k\cdot 7^{n-k}+\sum_{j=0}^m{m\choose j} \cdot 2^j\cdot 2^{m-j}=64[/tex3]
e podemos colocar o [tex3](-1)^k[/tex3] junto com [tex3]7^k[/tex3]
  • [tex3]\sum_{k=0}^n{n\choose k}\cdot (-7)^k\cdot 7^{n-k}+\sum_{j=0}^m{m\choose j}\cdot 2^j\cdot 2^{m-j}=64[/tex3]
Agora sim, esta é a expansão dos seguintes binômios de Newton:
  • [tex3](7-7)^n+(2+2)^m=64[/tex3]

    [tex3]0^n+4^m=4^3[/tex3]
Veja que [tex3]n[/tex3] pode ser qualquer número positivo (mas tem que ser natural pois faz parte de um número binomial). Enquanto [tex3]m[/tex3] tem que ser [tex3]3.[/tex3]

Última edição: caju (Qui 19 Abr, 2018 20:39). Total de 2 vezes.
Razão: tex --> tex3


"A beleza de ser um eterno aprendiz..."

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