Ensino Médio

Mensagem não lidapor **olgario** » Sex 04 Mar, 2011 16:37

Um mentiroso conta uma mentira a três amigos. Ao fim de 10 minutos cada um deles conta-a a outros três, que por sua vez a contam em 10 minutos a outros três (cada um).
Quantas pessoas conhecem a mentira ao fim de uma hora ?

Resposta.: 3280.

[tex3]1,\;\;3,\;(10min.)\;9,\;(10min.)\;27,\;(10min.)\;81,\;(10min.)\;243,\;(10min.)\;729,\;(10min.)\;2187[/tex3] .

Agradeço que alguém me diga se a sequência acima está certa.
Como a mentira é divulgada a cada 3 novas pessoas num intervalo de 10 minutos, ao fim de uma hora tem que haver 6 intervalos de 10 minutos,[tex3](6\times10\,=\, 60)[/tex3] .Sendo que entre o 1º termo e o 2º, esse intervalo não existe.
Será assim?

Existe alguma fórmula,relacionada com as Progressões Geométricas, que nos dê de cara, o valor final ?

Atenciosamente
olgario

Mensagem não lidapor **roberto** » Seg 07 Mar, 2011 12:13

Tem certeza que a resposta é essa? A resposta não é essa!

Olá,

Trata-se de uma PG, ou seja, o mentiroso conta uma mentira a 3 amigos.
no final de 10 minutos a história é contada para mais 3 amigos.
A história é contaa a 10 min , ou seja no final de uma 1h ela foi contada 6 vezes

então temos a sequência da PG ( 3,9,27)

vamos encontrar o sexto termo.

A6 = A1* ^q^5
A6 = 3*3^5
A6 = 729

portanto, no final de 1h 729 pessoas sabiam a história.

espero q seja isso; vlw

Eu por mim, também usei essa fórmula.

[tex3]a_n\,=\,a_1.r^{n-1}[/tex3]

A minha dúvida, está em saber se :[tex3]a_1[/tex3] deve ser igual a [tex3]1,[/tex3] sendo o mentiroso o 1º elemento .
ou igual a [tex3]3[/tex3] . Pois foi ao fim deste tempo que decorreram os primeiros 10 minutos.

Sendo que [tex3]n\,=\,6[/tex3] .

De qualquer dos modos, nunca dá o valor que eu dei como solução. Valor esse que está no livro de onde eu tirei a questão. O qual segundo creio, deve estar errado.

ou temos [tex3]a_6\,=\,1\cdot 3^5\,=\,243[/tex3] .

ou [tex3]a_6\,=\,3\cdot3^5\,=\,729[/tex3] .

É esta a minha dúvida.

PalmiraPaulo

Se o 1o termo da progressão é 1 e o segundo é 3 a razão é 3. e em uma hora a mentira for repetida 7 vezes então
an=a1.q^n-1
a7=1.3^7-1
a7=3^6
a7=729

Tem achei a resposta 729.
No 10 minutos passados temos 3 amigos.
Depois 9... Depois 27 , em seguida 81, depois 243 e finalmente 729. Totalizando 60 minutos

Mensagem não lidapor **caju** » Seg 28 Ago, 2017 17:17 · Mensagem não lida por **caju** » Seg 28 Ago, 2017 17:17

Olá IvanFilho e PalmiraPaulo,

A resolução apresentada possui 3 equívocos:

1) Foi considerado como tempo ZERO o momento em que o mentiroso inventou a mentira. Temos que considerar o tempo ZERO como sendo o momento em que os três primeiros amigos receberam a mentira.
2) O cálculo apresentado serve para descobrir quantas pessoas ficaram sabendo na última "contada" de mentira. Devemos utilizar a fórmula da soma dos termos da PG para encontrar TODOS que ficaram sabendo da mentira ao longo de todas rodadas de "contada" da mentira.
3) Também foi esquecido de contabilizar o próprio mentiroso, que também sabe da mentira.

Vou apresentar uma resolução:

: ivanfilho.png (37.43 KiB) Exibido 1990 vezes

Ou seja, temos uma PG onde [tex3]a_0=1[/tex3] , [tex3]a_1=3[/tex3] , [tex3]q=3[/tex3] e [tex3]a_7=3\cdot 3^{7-1}=2187[/tex3] .

Para saber a quantidade TOTAL de pessoas que conhecem a mentira, devemos fazer a soma dos termos desta PG, pois a cada rodada de "contada" da mentira, mais gente diferente ficou sabendo:

[tex3]S_7=\frac{3\cdot(3^7-1)}{3-1}=3279[/tex3]

Mas, temos ainda o mentiroso original, que também sabe da mentira. Assim, o total de pessoas que sabem da mentira é [tex3]\boxed{\boxed{3280}}[/tex3]

Grande abraço,
Prof. Caju

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