Olimpíadas(OBM - 2007) Progressão Aritmética

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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aristotélico
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Set 2007 06 21:09

(OBM - 2007) Progressão Aritmética

Mensagem não lida por aristotélico »

Qual dos inteiros positivos abaixo satisfaz a seguinte equação:
  • [tex3]\frac{4}{n^4} + \frac{5}{n^4} + \frac{6}{n^4}+ \ldots +\frac{n^4 - 6}{n^4} + \frac{n^4 - 5}{n^4} + \frac{n^4 - 4}{n^4} = 309 ?[/tex3]
a) [tex3]2007[/tex3]
b) [tex3]309[/tex3]
c) [tex3]155[/tex3]
d) [tex3]25[/tex3]
e) [tex3]5[/tex3]
Resposta:

e

Última edição: aristotélico (Qui 06 Set, 2007 21:09). Total de 1 vez.



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mawapa
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Set 2007 06 23:07

Re: (OBM - 2007) Progressão Aritmética

Mensagem não lida por mawapa »

Olá aristotélico!

Colocando o [tex3]\frac{1}{n^4}[/tex3] em evidência ficamos:
  • [tex3]\frac{1}{n^4}.(4+5+6+\ldots +n^4-4)=306[/tex3]
Temos uma PA de razão [tex3]1.[/tex3] Seja [tex3]p[/tex3] a quantidade de termos dessa PA.

Então pela expressão do termo geral temos,
  • [tex3]a_p = a_1 + (p-1)\cdot r[/tex3]

    [tex3]n^4 - 4= 4 + (p-1)\cdot 1[/tex3]

    [tex3]n^4 - 7 = p[/tex3]
Agora pela fórmula da soma dos termos da PA temos
  • [tex3]306 = (4 + n^4 -4).\frac{p}{2}.\frac{1}{n^4},[/tex3]
Substituindo [tex3]p:[/tex3]
  • [tex3]2\cdot 306\cdot n^4 = (n^4)\cdot (n^4 - 7),[/tex3]
fazendo as simplificações encontramos,
  • [tex3]612 = n^4 - 7[/tex3]

    [tex3]\sqrt[4]{619} = n[/tex3]
Isso dá aproximadamente [tex3]n = 4,98,[/tex3] dái não sei se errei alguma coisa nas contas aí, ou a resposta pode ser isso mesmo.

t+

Última edição: mawapa (Qui 06 Set, 2007 23:07). Total de 1 vez.



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paulo testoni
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Set 2007 07 03:54

Re: (OBM - 2007) Progressão Aritmética

Mensagem não lida por paulo testoni »

Hola Mawapa.

A igualdade é [tex3]309.[/tex3]
Última edição: paulo testoni (Sex 07 Set, 2007 03:54). Total de 1 vez.


Paulo Testoni

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mawapa
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Set 2007 07 19:59

Re: (OBM - 2007) Progressão Aritmética

Mensagem não lida por mawapa »

Ah, opa copiei o exercício errado, então a resposta fica [tex3]5[/tex3] mesmo. Obrigado pelo aviso Paulo.

Última edição: mawapa (Sex 07 Set, 2007 19:59). Total de 1 vez.



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