Olimpíadas ⇒ (OMA - 2005) Geometria Plana: Triângulos Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Set 2007
04
22:00
(OMA - 2005) Geometria Plana: Triângulos
(OMA- 2005) No triângulo isósceles [tex3]ABC[/tex3]
, com [tex3]AB\, =\, AC[/tex3]
, seja [tex3]M[/tex3]
o ponto médio de [tex3]BC.[/tex3]
O ponto [tex3]D[/tex3]
no lado [tex3]BC[/tex3]
é tal que [tex3]B\hat{A}D=\frac{1}{6}B\hat{A}C[/tex3]
. A reta perpendicular a [tex3]AD[/tex3]
por [tex3]C[/tex3]
corta [tex3]AD[/tex3]
em [tex3]N[/tex3]
de modo que [tex3]DN = DM.[/tex3]
Calcule os ângulos do triângulo [tex3]ABC.[/tex3]
~Z-BosoN
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matbatrobin 
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Jan 2009
25
03:13
Re: (OMA - 2005) Geometria Plana: Triângulos
Neste exercício temos o seguinte:
Agora vamos aos ângulos:
(1)Como o segmento AM é a altura e o triângulo ABC é isósceles temos [tex3]B\hat{A}M=C\hat{A}M[/tex3] , logo [tex3]B\hat{A}D=\frac{\alpha}{6},\,D\hat{A}M=\frac{2\alpha}{6}\,e\,G\hat{A}C=\frac{3\alpha}{6}[/tex3] .
Calculando temos:
(2)[tex3]A\hat{G}N=90^{\circ}-\frac{\alpha}{3}[/tex3]
(3)No [tex3]\triangle ANC:\,\, G\hat{C}A=90^{\circ}-\frac{5\alpha}{6}[/tex3]
(4)Por ângulos opostos pelo vértice: [tex3]M\hat{G}C=90^{\circ}-\frac{\alpha}{3}\Rightarrow M\hat{C}G=\frac{\alpha}{3}[/tex3]
*Então temos que os triângulos AGN e CGM são semelhantes.
Agora vamos ao triângulo isósceles NDM:
(5)Como AM é altura vem que [tex3]A\hat{M}B=90^{\circ}[/tex3] e como [tex3]D\hat{A}M=\frac{\alpha}{3}[/tex3] temos que [tex3]A\hat{D}M=90^{\circ}-\frac{\alpha}{3}[/tex3] , logo [tex3]D\hat{N}M=D\hat{M}N=45^{\circ}+\frac{\alpha}{6}[/tex3]
(6)[tex3]A\hat{M}B=D\hat{M}N+G\hat{M}N \\ G\hat{M}N=90^{\circ}-(45^{\circ}+\frac{\alpha}{6})=45^{\circ}-\frac{\alpha}{6}[/tex3]
(7)[tex3]D\hat{N}G=D\hat{N}M+G\hat{N}M \\ G\hat{N}M=90^{\circ}-(45^{\circ}+\frac{\alpha}{6})=45^{\circ}-\frac{\alpha}{6}[/tex3]
**Então temos que o triângulo GNM é isósceles.
(8)E se é isósceles então os lados GM e GN tem mesma medida isso implica que os triângulos AGN e CGM são semelhantes e congruentes, logo AG=CG e, com isso, o triângulo AGC também é isósceles.
(9)[tex3]G\hat{C}A=G\hat{A}C \\ 90^{\circ}-\frac{5\alpha}{6}=\frac{3\alpha}{6} \\ \alpha=67,5^{\circ}[/tex3]
Então os ângulos ficam: [tex3]67,5^{\circ},\,56,25^{\circ},\,56,25^{\circ}[/tex3]
Se alguém tiver o gabarito dessa prova por favor comente!
- imagem.GIF (3.38 KiB) Exibido 1579 vezes
(1)Como o segmento AM é a altura e o triângulo ABC é isósceles temos [tex3]B\hat{A}M=C\hat{A}M[/tex3] , logo [tex3]B\hat{A}D=\frac{\alpha}{6},\,D\hat{A}M=\frac{2\alpha}{6}\,e\,G\hat{A}C=\frac{3\alpha}{6}[/tex3] .
Calculando temos:
(2)[tex3]A\hat{G}N=90^{\circ}-\frac{\alpha}{3}[/tex3]
(3)No [tex3]\triangle ANC:\,\, G\hat{C}A=90^{\circ}-\frac{5\alpha}{6}[/tex3]
(4)Por ângulos opostos pelo vértice: [tex3]M\hat{G}C=90^{\circ}-\frac{\alpha}{3}\Rightarrow M\hat{C}G=\frac{\alpha}{3}[/tex3]
*Então temos que os triângulos AGN e CGM são semelhantes.
Agora vamos ao triângulo isósceles NDM:
(5)Como AM é altura vem que [tex3]A\hat{M}B=90^{\circ}[/tex3] e como [tex3]D\hat{A}M=\frac{\alpha}{3}[/tex3] temos que [tex3]A\hat{D}M=90^{\circ}-\frac{\alpha}{3}[/tex3] , logo [tex3]D\hat{N}M=D\hat{M}N=45^{\circ}+\frac{\alpha}{6}[/tex3]
(6)[tex3]A\hat{M}B=D\hat{M}N+G\hat{M}N \\ G\hat{M}N=90^{\circ}-(45^{\circ}+\frac{\alpha}{6})=45^{\circ}-\frac{\alpha}{6}[/tex3]
(7)[tex3]D\hat{N}G=D\hat{N}M+G\hat{N}M \\ G\hat{N}M=90^{\circ}-(45^{\circ}+\frac{\alpha}{6})=45^{\circ}-\frac{\alpha}{6}[/tex3]
**Então temos que o triângulo GNM é isósceles.
(8)E se é isósceles então os lados GM e GN tem mesma medida isso implica que os triângulos AGN e CGM são semelhantes e congruentes, logo AG=CG e, com isso, o triângulo AGC também é isósceles.
(9)[tex3]G\hat{C}A=G\hat{A}C \\ 90^{\circ}-\frac{5\alpha}{6}=\frac{3\alpha}{6} \\ \alpha=67,5^{\circ}[/tex3]
Então os ângulos ficam: [tex3]67,5^{\circ},\,56,25^{\circ},\,56,25^{\circ}[/tex3]
Se alguém tiver o gabarito dessa prova por favor comente!
Mar 2012
31
18:01
Re: (OMA - 2005) Geometria Plana: Triângulos
[tex3]OBS[/tex3]
:Neste exercício a imagem foi perdida.Espero que ajude a solução bem com a imagem.
Dados:
[tex3]\overline{AB} = \overline{AC}[/tex3]
[tex3]M[/tex3] ponto médio [tex3]\overline{BC}[/tex3]
[tex3]BAD = \frac{1}{6} BAC[/tex3]
Solução:
[tex3]\Delta ADM \sim \Delta CDN[/tex3]
[tex3]\overline{AD} \simeq \overline{CD}[/tex3]
Logo [tex3]\Delta ADC[/tex3] é isósceles.
No [tex3]\Delta ABC[/tex3] :
[tex3]5a+5a+6a=180^o \rightarrow[/tex3] [tex3]a=11,25^o[/tex3]
[tex3]\hat{A} = 6a = 67^030'[/tex3]
[tex3]\hat{B} = \hat{C} = 5a = 56^015'[/tex3]
- OMA (1)-2005.gif (3.99 KiB) Exibido 1417 vezes
[tex3]\overline{AB} = \overline{AC}[/tex3]
[tex3]M[/tex3] ponto médio [tex3]\overline{BC}[/tex3]
[tex3]BAD = \frac{1}{6} BAC[/tex3]
Solução:
[tex3]\Delta ADM \sim \Delta CDN[/tex3]
[tex3]\overline{AD} \simeq \overline{CD}[/tex3]
Logo [tex3]\Delta ADC[/tex3] é isósceles.
No [tex3]\Delta ABC[/tex3] :
[tex3]5a+5a+6a=180^o \rightarrow[/tex3] [tex3]a=11,25^o[/tex3]
[tex3]\hat{A} = 6a = 67^030'[/tex3]
[tex3]\hat{B} = \hat{C} = 5a = 56^015'[/tex3]
[tex3]Resposta[/tex3]
:[tex3]56^015'[/tex3]
,[tex3]56^015'[/tex3]
e [tex3]67^030'[/tex3]
.
''Nunca cruze os braços diante dos obstáculos, pois lembre-se que o maior dos Homens morreu de braços abertos.''
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