Pré-Vestibular ⇒ (ENE - 1952) Polinômios Tópico resolvido

[poti]

Provar que se a equação [tex3]x^2 + (a + bi)x + (c + di) = 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2 + (a + bi)x + (c + di) = 0[/tex3]

, onde [tex3]a, b, c, d \in R[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a, b, c, d \in R[/tex3]

, admite uma raiz real, então [tex3]abd = d^2 + b^2c[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]abd = d^2 + b^2c[/tex3]

.

[fabit]

Seja esse x o valor real que é raiz. Então [tex3]x^2+ax+c+(bx+d)i=0=0+0i[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2+ax+c+(bx+d)i=0=0+0i[/tex3]

.

Portanto [tex3]\begin{cases}x^2+ax+c=0\\bx+d=0\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}x^2+ax+c=0\\bx+d=0\end{cases}[/tex3]

Vou eliminar o x (isolando na segunda e substituindo na primeira) e ver no que dá:

[tex3]x=-\frac{d}{b}\Rightarrow\(-\frac{d}{b}\)^2+a\(-\frac{d}{b}\)+c=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=-\frac{d}{b}\Rightarrow\(-\frac{d}{b}\)^2+a\(-\frac{d}{b}\)+c=0[/tex3]

[tex3]\frac{d^2}{b^2}-\frac{ad}{b}+c=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{d^2}{b^2}-\frac{ad}{b}+c=0[/tex3]

Multiplico por b ao quadrado:

[tex3]d^2-abd+b^2c=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]d^2-abd+b^2c=0[/tex3]

[tex3]abd=d^2+b^2c[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]abd=d^2+b^2c[/tex3]

c.q.d.