Ensino MédioGeometria Plana: Área de Figuras Planas

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Geometria Plana: Área de Figuras Planas

Mensagem não lida por edu_landim » Sex 31 Ago, 2007 23:16

Na figura abaixo temos o quadrado ABDC de lado a, a semi-circunferência de diâmetro \overline{AB} e um quarto de circunferência com centro em C. Calcule a área hachurada em função de a.
AA96.png
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Deus escreve Matemática, mas poucos conseguem entender o mundo.

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caju
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Mensagem não lida por caju » Sáb 08 Set, 2007 17:57

Olá edu_landim,

Nesta resolução vou utilizar a fórmula de área de setor circular:
Onde \alpha é o arco do setor (em radianos) e r é o raio da circunferência suporte deste setor.

E usarei também a fórmula trigonométrica da área de um triângulo ABC:
  • A = \frac {\overline{AB} \cdot \overline{BC} \cdot \sin (A\hat{B} C) }{2}
Veja a figura da questão com algumas modificações para nos auxiliar na resolução:
AA98.png
AA98.png (12.18 KiB) Exibido 3276 vezes
Vamos começar calculando a área vermelha.
Esta área é calculada através da área do setor circular de arco \alpha da circunferência de centro F, \frac{\alpha\cdot\left(\frac{a}{2}\right)^2}{2},menos a área do triângulo AFE, \frac{\frac a2\cdot\frac a2\cdot\sin(\alpha)}{2}:
  • A_{\text{vermelha}}=\frac{\alpha\cdot\left(\frac{a}{2}\right)^2}{2}-\frac{\frac a2\cdot\frac a2\cdot\sin(\alpha)}{2}
Com este mesmo raciocínio, conseguimos a área verde, que é a área do setor de arco \pi-\alpha da circunferência de centro C, \frac{\alpha\cdot a^2}{2}, menos a área do triângulo ACE, \frac{a\cdot a\cdot\sin(\alpha)}{2}:
  • A_{\text{verde}}=\frac{\alpha\cdot a^2}{2}-\frac{a^2\cdot\sin(\alpha)}{2}
E a área azul, que é a área total do quadrado menos a área do quarto de círculo de centro C menos a área do semicírculo de centro F. Mas, como subtraímos duas vezes as áreas verde e vermelha, devemos incluir novamente para que não haja erros:
  • A_{\text{azul}}=a^2-\frac{\pi\cdot a^2}{4}-\frac{\pi\cdot\left(\frac{a}{2}\right)^2}{2}+A_{\text{verde}}+A_{\text{vermelha}}
  • A_{\text{azul}}=a^2-\frac{\pi\cdot a^2}{4}-\frac{\pi\cdot\left(\frac{a}{2}\right)^2}{2}+\frac{\alpha\cdot a^2}{2}-\frac{a^2\cdot\sin(\alpha)}{2}+\frac{\alpha\cdot\left(\frac{a}{2}\right)^2}{2}-\frac{\frac a2\cdot\frac a2\cdot\sin(\alpha)}{2}
Efetuando os cálculos na expressão acima, chegamos em:
  • A_{\text{azul}}=a^2-\frac{3\pi\cdot a^2}{8}+\frac{5\alpha\cdot a^2}{8}-\frac{5a^2\cdot\sin(\alpha)}{8}
Agora o que o exercício pede é o valor da soma das três áreas coloridas:
  • A_{\text{pedida}}=A_{\text{azul}}+A_{\text{verde}}+A_{\text{vermelha}}
  • A_{\text{pedida}}=a^2-\frac{3\pi\cdot a^2}{8}+\frac{5\alpha\cdot a^2}{8}-\frac{5a^2\cdot\sin(\alpha)}{8}+\frac{\alpha\cdot a^2}{2}-\frac{a^2\cdot\sin(\alpha)}{2}+\frac{\alpha\cdot\left(\frac{a}{2}\right)^2}{2}-\frac{\frac a2\cdot\frac a2\cdot\sin(\alpha)}{2}
Efetuando as continhas, temos:
  • A_{\text{pedida}}=a^2-\frac{3\pi\cdot a^2}{8}+\frac{5\alpha\cdot a^2}{4}-\frac{5a^2\cdot\sin(\alpha)}{4}
Agora devemos encontrar o valor de \alpha e \sin(\alpha)

Encontramos este valor através do trângulo retângulo FAC (que tem hipotenusa valendo \frac{a\sqrt 5}{2}):
  • \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{a}{\frac{a\sqrt 5}{2}}=\frac{2\sqrt 5}{5}

    \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{\frac a2}{\frac{a\sqrt 5}{2}}=\frac{\sqrt 5}{5}
Utilizando a fórmula \sin(\alpha)=2\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)
  • \sin(\alpha)=2\cdot\frac{2\sqrt 5}{5}\cdot\frac{\sqrt 5}{5}=\frac 45
Portanto
Substituindo estes valores na expressão da área pedida:
  • A_{\text{pedida}}=a^2-\frac{3\pi\cdot a^2}{8}+\frac{5\cdot \arcsin\left(\frac 45\right) \cdot a^2}{4}-\frac{5a^2\cdot\frac 45}{4}
Resolvendo, encontramos:
  • A_{\text{pedida}}=a^2\cdot\left[\frac{5\cdot\arcsin\left(\frac 45\right)}{4}-\frac{3\cdot\pi}{8}\right]
Espero não ter errado continhas.... hehehe

Editado pela última vez por caju em Sáb 08 Set, 2007 17:57, em um total de 1 vez.


"A beleza de ser um eterno aprendiz..."

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Re: Geometria Plana: Área de Figuras Planas

Mensagem não lida por edu_landim » Sáb 28 Fev, 2009 16:20

Olá Caju, utilizando uma calculadora, percebi que seu resultado deu negativo. Posto então minha resolução.

Inicalmente considere

\large C_1 o quarto de circunferência centrada em \large C e tendo raio medindo \large a.

\large C_2 a semicircunferência de diâmetro \large AB, seu centro indicaremos por \large M

o ponto de interseção de \large C_1 e \large C_2 será indicado por \large P, conforme figura abaixo.
imagema.JPG
imagema.JPG (6.04 KiB) Exibido 2552 vezes
Perceba que o \large \Delta AMC\,\equiv\,\Delta PMC caso \large LLL, logo

\large M\hat{P}C\,=\,M\hat{A}C\,=\,\Large \frac{\pi}{2}

\large M\hat{C}P\,=\,M\hat{C}A\,=\,\gamma

\large P\hat{M}C\,=\,A\hat{M}C\,=\,\beta


Visualize o setor circular \large APC, o segmento circular correspondente terá área indicada por \large A_1.

\large A_1\,=\,A_{\textrm{set}\,APC}\,-\,A_{\Delta APC}

\large A_1\,=\,\pi\,\cdot\,a^2\,\cdot\,\Large \frac{2\gamma}{2\pi}\large \,-\,\Large \frac{1}{2}\large \,\cdot\,a^2\,\cdot\,\textrm{sen}\,2\gamma

\large A_1\,=\,a^2\,\cdot\gamma\,-\,a^2\,\cdot\,\textrm{sen}\,\gamma\,\cdot\,\cos\,\gamma

\large A_1\,=\,a^2\,\cdot\,(\gamma\,-\,\textrm{sen}\,\gamma\,\cdot\,\cos\,\gamma)(*)


Perceba agora que \large \textrm{tg}\,\gamma\,=\,\Large \frac{1}{2}\large. Utilizando essa informação e a relação fundamental da trigonometria, pode-se descobrir os valores de \large \textrm{sen}\,\gamma e \large \cos\,\gamma.

Fazendo essas contas obtém-se \large \textrm{sen}\,\gamma\,=\,\Large \frac{\sqrt{5}}{5}\large e \large \cos\,\gamma\,=\,\Large \frac{2\sqrt{5}}{5}\large

Substituindo em (*) obteremos

\large A_1\,=\,a^2\,\cdot\,\left(\gamma\,-\,\Large \frac{2}{5}\large \right)

Visualize o setor circular \large APM, o segmento circular correspondente terá área indicada por \large A_2.

\large A_2\,=\,A_{\textrm{set}\,APM}\,-\,A_{\Delta\, APM}

\large A_2\,=\,\pi\,\cdot\,\Large \frac{a^2}{4}\large \,\cdot\,\Large \frac{2\beta}{2\pi}\large \,-\,\Large \frac{1}{2}\large \,\cdot\,\Large \frac{a^2}{4}\large \,\cdot\,\textrm{sen}\,2\beta

\large A_2\,=\,\Large \frac{a^2}{4}\large \,\cdot\,(\beta\,-\,\textrm{sen}\,\beta\,\cdot\,\cos\,\beta)(**)

Como \large \gamma e \large \beta são complementares temos

\large \textrm{sen}\,\gamma\,=\,\cos\,\beta e \large \cos\,\gamma\,=\,\textrm{sen}\,\beta

Substituindo em (**) obteremos

\large A_2\,=\,\Large \frac{a^2}{4}\large \,\cdot\,\left(\Large \frac{\pi}{2}\large \,-\,\gamma\,-\,\Large \frac{2}{5}\large \right)


A área da região externa a \large C_1 e \large C_2 será indicada por \large A_3.

Para determinar \large A_3 utilizaremos uma composição de áreas para obtermos a área do quadrado (\large A_Q), como mostrado abaixo

\large A_Q\,=\,A_{C_1}\,+\,A_{C_2}\,-\,(A_1\,+A_2)\,+\,A_3

\large a^2\,=\,\Large \frac{\pi a^2}{4}\large \,+\,\Large \frac{\pi a^2}{8}\large \,-\,a^2\,\cdot\,\left(\Large \frac{3\gamma}{4}\large \,+\,\Large \frac{\pi}{8}\large \,-\,\Large \frac{1}{2}\large \right)\,+\,A_3

\large A_3\,=\,a^2\,\cdot\,\left(\Large \frac{3\gamma}{4}\large \,-\,\Large \frac{\pi}{4}\large \,+\,\Large \frac{1}{2}\right)


A área hachurada é dada por \large A_1\,+\,A_2\,+\,A_3

Agora basta somar, lembrando que \large \gamma\,=\,\textrm{arctg}\,\left(\Large \frac{1}{2}\large \right)

\large A_{\textrm{hachurada}}\,=\,a^2\,\cdot\,\left[\Large \frac{3}{2}\large \,\cdot\,\textrm{arctg}\,\left(\Large \frac{1}{2}\large \right)\,-\,\Large \frac{\pi}{8}\large \right]

Editado pela última vez por edu_landim em Sáb 28 Fev, 2009 16:20, em um total de 1 vez.


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