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Sejam [tex3]p(x)=2x^{2010}-5x^2-13x+7[/tex3] e [tex3]q(x)=x^2+x+1[/tex3] . Tomando [tex3]r(x)[/tex3] como sendo o resto na divisão de [tex3]p(x)[/tex3] por [tex3]q(x)[/tex3] , o valor de [tex3]r(2)[/tex3] será:

a) [tex3]{-}8[/tex3]
b) [tex3]{-}6[/tex3]
c) [tex3]{-}4[/tex3]
d) [tex3]{-}3[/tex3]
e) [tex3]{-}2[/tex3]

Podemos reescrevendo [tex3]p(x)[/tex3] assim:
[tex3]p(x)=2(x^{2010}-1)-5x^2-13x+9[/tex3]
[tex3]x^{2010}-1=(x^3)^{670}-1[/tex3] que é divisível por [tex3]x^2+x+1[/tex3] uma vez que:
[tex3]x^3-1=(x+1)(x^2+x+1)[/tex3]

Assim, o resto da divisão de P(x) por [tex3]x^2+x+1[/tex3] é igual ao resto da divisão de [tex3]{-5x^2-13x+9}[/tex3] por [tex3]x^2+x+1[/tex3]
que deixa resto [tex3]{-8x+14}[/tex3]

Pois,
[tex3]p(x)=q(x)*d(x)+r(x)[/tex3]
[tex3]{-5x^2-13x+9}=(x^2+x+1)*(-5)+(-8x+14)[/tex3]

Substituindo [tex3]r(2)[/tex3] , temos:
[tex3]r(x)=-8*2+14=-2[/tex3]

Resposta: [tex3]\boxed{r(2)=-2}[/tex3]

Espero ter ajudado.

Mensagem não lidapor **lecko** » Qua 17 Ago, 2011 21:28 · Mensagem não lida por **lecko** » Qua 17 Ago, 2011 21:28

Só pra corrigir um pequeno erro de digitação do filipe:
[tex3](x^3-1)=(x-1)(x^2+x+1)[/tex3] isso por causa do produto notável:[tex3]a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)[/tex3] .

Bom continuando então, creio que haja outra forma de se fazer:
Como o que ele quer é [tex3]r_{(2)}[/tex3] então ele quer o resto para [tex3]x=2[/tex3] .
se jogarmos o valor no lugar da incógnita teremos:
[tex3]\frac{p_{(x)}}{q_{(x)}}=\frac{2.2^{2010}-5.2^2-13.2+7}{2^2+2+1}[/tex3]

[tex3]\frac{p_{(x)}}{q_{(x)}}=\frac{2^{2011}-39}{7}[/tex3]
Só fazer a congruência agora:
pelo pequeno teorema de fermat sabemos que:
[tex3]2^6 \equiv 1 (mod 7)[/tex3]
[tex3](2^6)^{335} \equiv (1)^{335} (mod 7)[/tex3]
[tex3]2^{2010} \equiv 1 (mod 7)[/tex3]
então temos [tex3]2.2^{2010} \equiv 2.1(mod 7)[/tex3]
[tex3]2^{2011} \equiv 2(mod 7)[/tex3]

e sabemos que [tex3]\ -39 \equiv -4(mod7)[/tex3]
somando os dois:
[tex3]2^{2011}-39 \equiv 2-4(mod7)[/tex3]
[tex3]2^{2011}-39 \equiv -2 (mod 7)[/tex3]

Logo o resto da divisão é [tex3]\ -2[/tex3]

Espero que seja isso, vlw/abraços galera.

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