Considere a equação: [tex3]\sqrt{x^2-p}+2\sqrt{x^2-1}=x[/tex3]
a) Para que valores do parâmetro real p a equação admite raízes reais?
b) Determine todas essas raízes reais.
IME / ITA ⇒ (ITA - 2007) Equação Irracional Tópico resolvido
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(ITA - 2007) Equação Irracional
Última edição: caju (Qua 06 Jul, 2022 11:06). Total de 2 vezes.
Razão: tex --> tex3
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11:50
Re: (ITA - 2007) Equação Irracional
Olá Rodrigotmacedo!!
Essa dái é do ITA de 2007,né?
a)Para que as raízes quadradas pertençam aos reais,temos duas condições:
[tex3]x^2-1\geq 0[/tex3] => [tex3]x^2\geq 1[/tex3] e [tex3]x^2-p\geq 0[/tex3] =>[tex3]x^2\geq p[/tex3] .
A partir da equação inicial:
[tex3]\sqrt {x^2-p}+2\cdot \sqrt {x^2-1}=x[/tex3] =>[tex3](\sqrt {x^2-p})^2=(x-2\sqrt {x^2-1})^2[/tex3] =>[tex3]x^2-p=x^2-4x\cdot \sqrt {x^2-1}+4x^2-4[/tex3] =>
[tex3]4x\cdot \sqrt {x^2-1}=p+4x^2-4[/tex3] =>[tex3](4x\cdot \sqrt {x^2-1})^2=(p+4x^2-4)^2[/tex3] =>[tex3]16x^4-16x^2=p^2+16x^4+16+8px^2-8p-32x^2[/tex3] =>
[tex3](16-8p)\cdot x^2-p^2-16+8p=0[/tex3] =>[tex3]x^2=\frac{8p-p^2-16}{8p-16}=\frac{-(p-4)^2}{8\cdot (p-2)}=\frac{(p-4)^2}{8\cdot (2-p)}[/tex3] .
Da condição [tex3]x^2 \geq p[/tex3] ,temos:
[tex3]\frac{(p-4)^2}{8\cdot (2-p)}\geq p[/tex3] =>[tex3]\frac{(p-4)^2}{8\cdot (2-p)}-p \geq 0[/tex3] =>[tex3]\frac{9p^2-24p+16}{16-8p}\geq 0[/tex3]
Considerando apenas o numerador e igualando-o a zero,temos:
[tex3]\Delta=(-24)^2-4\cdot 9\cdot 16=0[/tex3] .
Logo,para qualquer valor real de p temos que [tex3]9p^2-24p+16\geq 0[/tex3] e assume valor nulo em [tex3]p=\frac{24 \pm 0}{18}=\frac{4}{3}[/tex3] . Assim,como o numerador sempre é não-negativo,segue-se que [tex3]16-8p\gt 0[/tex3] =>[tex3]p\lt 2[/tex3] .
Como a equação do enunciado deve ser satisfeita:
[tex3](\sqrt {x^2-p}+2\cdot \sqrt {x^2-1})^2=x^2[/tex3] ,ou em outras palavras:
[tex3](x^2-p)+4\cdot (x^2-1)+4\sqrt {(x^2-p)\cdot (x^2-1)}=x^2[/tex3] =>[tex3]4\sqrt {(x^2-p)\cdot (x^2-1)}=p-4x^2+4[/tex3] .
Como a raíz deve existir,segue-se que [tex3]p-4x^2+4 \geq 0[/tex3] .
=>[tex3]x^2 \leq \frac{p+4}{4}[/tex3] =>[tex3]x^2=\frac{(p-4)^2}{8\cdot (2-p)}\leq \frac{p+4}{4}[/tex3] =>[tex3]\frac{p^2-8p+16}{2(2p-p)}-p-4 \leq 0[/tex3] =>[tex3]\frac{p^2-8p+16-(4-2p)\cdot (p+4)}{4-2p}\leq 0[/tex3] .
Como 4-2p>0 (pois [tex3]p\lt 2[/tex3] ),temos:
[tex3]p^2-8p+16-4p-16+2p^2+8p \leq 0[/tex3] =>[tex3]3p^2-4p \leq 0[/tex3] =>[tex3]0 \leq p \leq \frac{4}{3}[/tex3] .
b)Se [tex3]0 \leq p \leq \frac{4}{3}[/tex3] ,temos então:[tex3]x^2=\frac{(p-4)^2}{8\cdot (2-p)}=> x=\frac{4-p}{2\cdot \sqrt {4-2p}}[/tex3] .
Ufa...que questão grande! se fosse editar isso na hora da prova,seria meio dificil, hehehe!!
Espero ter ajudado!!
__________________
"Nas questões matemáticas não se compreende a incerteza nem a dúvida, assim como tampouco se podem estabelecer distinções entre verdades médias e verdades de grau superior. (Hilbert)"
Essa dái é do ITA de 2007,né?
a)Para que as raízes quadradas pertençam aos reais,temos duas condições:
[tex3]x^2-1\geq 0[/tex3] => [tex3]x^2\geq 1[/tex3] e [tex3]x^2-p\geq 0[/tex3] =>[tex3]x^2\geq p[/tex3] .
A partir da equação inicial:
[tex3]\sqrt {x^2-p}+2\cdot \sqrt {x^2-1}=x[/tex3] =>[tex3](\sqrt {x^2-p})^2=(x-2\sqrt {x^2-1})^2[/tex3] =>[tex3]x^2-p=x^2-4x\cdot \sqrt {x^2-1}+4x^2-4[/tex3] =>
[tex3]4x\cdot \sqrt {x^2-1}=p+4x^2-4[/tex3] =>[tex3](4x\cdot \sqrt {x^2-1})^2=(p+4x^2-4)^2[/tex3] =>[tex3]16x^4-16x^2=p^2+16x^4+16+8px^2-8p-32x^2[/tex3] =>
[tex3](16-8p)\cdot x^2-p^2-16+8p=0[/tex3] =>[tex3]x^2=\frac{8p-p^2-16}{8p-16}=\frac{-(p-4)^2}{8\cdot (p-2)}=\frac{(p-4)^2}{8\cdot (2-p)}[/tex3] .
Da condição [tex3]x^2 \geq p[/tex3] ,temos:
[tex3]\frac{(p-4)^2}{8\cdot (2-p)}\geq p[/tex3] =>[tex3]\frac{(p-4)^2}{8\cdot (2-p)}-p \geq 0[/tex3] =>[tex3]\frac{9p^2-24p+16}{16-8p}\geq 0[/tex3]
Considerando apenas o numerador e igualando-o a zero,temos:
[tex3]\Delta=(-24)^2-4\cdot 9\cdot 16=0[/tex3] .
Logo,para qualquer valor real de p temos que [tex3]9p^2-24p+16\geq 0[/tex3] e assume valor nulo em [tex3]p=\frac{24 \pm 0}{18}=\frac{4}{3}[/tex3] . Assim,como o numerador sempre é não-negativo,segue-se que [tex3]16-8p\gt 0[/tex3] =>[tex3]p\lt 2[/tex3] .
Como a equação do enunciado deve ser satisfeita:
[tex3](\sqrt {x^2-p}+2\cdot \sqrt {x^2-1})^2=x^2[/tex3] ,ou em outras palavras:
[tex3](x^2-p)+4\cdot (x^2-1)+4\sqrt {(x^2-p)\cdot (x^2-1)}=x^2[/tex3] =>[tex3]4\sqrt {(x^2-p)\cdot (x^2-1)}=p-4x^2+4[/tex3] .
Como a raíz deve existir,segue-se que [tex3]p-4x^2+4 \geq 0[/tex3] .
=>[tex3]x^2 \leq \frac{p+4}{4}[/tex3] =>[tex3]x^2=\frac{(p-4)^2}{8\cdot (2-p)}\leq \frac{p+4}{4}[/tex3] =>[tex3]\frac{p^2-8p+16}{2(2p-p)}-p-4 \leq 0[/tex3] =>[tex3]\frac{p^2-8p+16-(4-2p)\cdot (p+4)}{4-2p}\leq 0[/tex3] .
Como 4-2p>0 (pois [tex3]p\lt 2[/tex3] ),temos:
[tex3]p^2-8p+16-4p-16+2p^2+8p \leq 0[/tex3] =>[tex3]3p^2-4p \leq 0[/tex3] =>[tex3]0 \leq p \leq \frac{4}{3}[/tex3] .
b)Se [tex3]0 \leq p \leq \frac{4}{3}[/tex3] ,temos então:[tex3]x^2=\frac{(p-4)^2}{8\cdot (2-p)}=> x=\frac{4-p}{2\cdot \sqrt {4-2p}}[/tex3] .
Ufa...que questão grande! se fosse editar isso na hora da prova,seria meio dificil, hehehe!!
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Re: (ITA - 2007) Equação Irracional
Valeu italoemanuell, ajudou bastante!
Última edição: Rodrigotmacedo (Sex 07 Set, 2007 13:24). Total de 1 vez.
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14:02
Re: (ITA - 2007) Equação Irracional
De nada parceiro......
Última edição: italoemanuell (Sex 07 Set, 2007 14:02). Total de 1 vez.
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