IME / ITA

rean · Mensagem não lida por **rean** » 12 Ago 2010, 10:04

Seja $64$ a soma dos coeficientes numéricos do desenvolvimento de $(a + b)^m$ , onde m é um natural. Supondo a e b números positivos, e que o $3^{\circ}$ e o $7^{\circ}$ termos do desenvolvimento de $(a + b)^m$ ,segundo as potências decrecestes de b, são $T_3=60$ e $T_7=64$ , calcule a e b.

Resposta

resp. a=2 e b=1

O Renan e suas questões do IME/ITA, vc tah me fazendo queimar a massa cefálica,hsaushausha

Mas vamos la para mais uma questão.

Eu percebi que vc postou duas questões seguidas sobre Binômio por isso vou fazer um apanhado do que vc precisa saber para destruir todas essas questões

Observações:
1) o desenvolvimento do binômio $(a + b)^n$ é um polinômio.
2) o desenvolvimento de $(a + b)^n$ possui $n+1$ termos .
3) os coeficientes dos termos eqüidistantes dos extremos , no desenvolvimento de $(a + b)^n$ são iguais .
4) a soma dos coeficientes de $(a + b)^n$ é igual a $2^n$

Fórmula do termo geral de um Binômio de Newton

Um termo genérico $T_{k+1}$ do desenvolvimento de $(a + b)^n$ , sendo k um número natural, é dado por

$T_{k+1}=(_k^n)\cdot a^{n-k}\cdot b^k$
ou
$T_{k+1}=(_k^n)\cdot a^{k}\cdot b^{n-k}$
onde
$(_k^n)=C_k^n=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}$

Depois de termos revisado a matéria, mãos a obra.

Do enunciado temos que a soma dos coeficientes será $2^n=64 \Rightarrow n=6$

$T_{k+1}=T_{3} \Rightarrow k=2$
$T_{k+1}=T_{7} \Rightarrow k=6$

Utilizando a fórmula
$T_{k+1}=(_k^n)\cdot a^{k}\cdot b^{n-k}$ temos:

$T_{3}=(_2^6)\cdot a^{2}\cdot b^{6-2}=60 \Rightarrow \frac{6!}{2! \cdot (6-2)!}\cdot a^{2}\cdot b^{4}=60$

$T_{7}=(_6^6)\cdot a^{6}\cdot b^{6-6}=64 \Rightarrow \frac{6!}{6! \cdot (6-6)!}\cdot a^{6}\cdot b^{0}=64$

$15\cdot a^{2}\cdot b^{4}=60 (i)$
$1\cdot a^{6}\cdot b^{0}=64 \Rightarrow a=2 (ii)$

De $(ii)$ em $(i)$
$15\cdot 2^{2}\cdot b^{4}=60 \Rightarrow b=1$

Se nos tivéssemos utilizado
$T_{k+1}=(_k^n)\cdot a^{n-k}\cdot b^k$

Teríamos encontrado o contrário

Desta forma, eu colocaria como par de solução: $(a,b)=(1,2)(2,1)$

Espero ter ajudado

Percebi uma falha minha.

No anunciado da questão ele fala que é segundo as potências decrescentes, logo temos que usar:

[tex3]T_{k+1}=(_k^n)\cdot a^{n-k}\cdot b^k[/tex3]

E assim teremos como resposta apenas um par de solução que é [tex3](a,b)=(2,1)[/tex3]

Abraço.

IME / ITA ⇒ (IME - 67) Tópico resolvido

(IME - 67)

Re: (IME - 67)

Re: (IME - 67)

IME / ITA ⇒ (IME - 67) Tópico resolvido

(IME - 67)

Re: (IME - 67)

Re: (IME - 67)

Entrar | Registrar