Prove que o polinomio P(x) = [tex3]x^9^9^9+ x^8^8^8+ x^7^7^7^7+ . . .
+ x^1^1^1 + 1[/tex3]
é divisível por [tex3]x^9 + x^8 + x^7+ . . . + x + 1.[/tex3]
IME / ITA ⇒ IME_ polinômio
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rean
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Ago 2010
08
21:49
IME_ polinômio
Editado pela última vez por rean em 08 Ago 2010, 21:49, em um total de 1 vez.
No mundo tudo está organizado segundo os números e as formas matemática
Rean
Rean
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poti
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Ago 2010
09
20:47
Re: IME_ polinômio
Peguei essa pra fazer anteontem, mas ainda estou tentando. Perceba que podemos afirmar que [tex3]{-}1[/tex3]
é raiz para ambos. Fazendo uma gambiarra com Briot-Ruffini vai dar pra concluir algo, mas ando sem tempo. Se conseguir poste a resposta. Se eu conseguir antes postarei tb.
Editado pela última vez por poti em 09 Ago 2010, 20:47, em um total de 1 vez.
VAIRREBENTA!
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FilipeCaceres
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Ago 2010
09
23:07
Re: IME_ polinômio
Seja [tex3]P(x) = x^9^9^9+ x^8^8^8+ x^7^7^7^7+ . . . + x^1^1^1 + 1[/tex3]
e [tex3]Q(x)=x^9 + x^8 + x^7+ . . . + x + 1[/tex3]
Primeiro vamos achar todas as raízes de Q(x):
O desenvolvimento de Q(x) é uma soma de PG de razão x: [tex3]Q(x)=\frac{x^{10}-1}{x-1}[/tex3]
Vamos chamar as raízes de Q(x) de [tex3]\theta[/tex3] , assim temos:
[tex3]Q(\theta)=0 \longleftrightarrow \frac{{\theta}^{10}-1}{\theta -1}=0[/tex3]
Assim temos
[tex3]{\theta}^{10}-1=0[/tex3]
[tex3]\theta \neq 1[/tex3]
Logo:
[tex3]\theta=cis(\frac{2k\pi}{10})[/tex3] ,[tex3]k=0,1,2,3,...,9[/tex3]
Basta verificar se todas as raízes de Q(x) também são raízes de P(x).
[tex3]P(\theta)=({\theta}^{111})^9+({\theta}^{111})^8+({\theta}^{111})^7+({\theta}^{111})^6+...+({\theta}^{111})+1[/tex3]
[tex3]=\frac{(\theta^{111})^{10}}{{\theta}^{111}-1}=\frac{(\theta^{10})^{111}}{{\theta}^{111}-1}=\frac {(cis(\frac{2k\pi}{10})^{10})^{111}-1}{{\theta}^{111}-1}=\frac {cis(\frac{2k\pi \cdot 10}{10})^{111}-1}{{\theta}^{111}-1}[/tex3]
[tex3]=\frac {cis(\frac{2k\pi \cdot 10}{10})^{111}-1}{{\theta}^{111}-1}=\frac {cis(2k\pi)^{111}-1}{{\theta}^{111}-1}=\frac {1-1}{{\theta}^{111}-1}=0[/tex3]
Desta forma, todas as raízes de Q(x) são raízes de P(x).
Espero que tenha entendido.
e [tex3]Q(x)=x^9 + x^8 + x^7+ . . . + x + 1[/tex3]
Primeiro vamos achar todas as raízes de Q(x):
O desenvolvimento de Q(x) é uma soma de PG de razão x: [tex3]Q(x)=\frac{x^{10}-1}{x-1}[/tex3]
Vamos chamar as raízes de Q(x) de [tex3]\theta[/tex3] , assim temos:
[tex3]Q(\theta)=0 \longleftrightarrow \frac{{\theta}^{10}-1}{\theta -1}=0[/tex3]
Assim temos
[tex3]{\theta}^{10}-1=0[/tex3]
[tex3]\theta \neq 1[/tex3]
Logo:
[tex3]\theta=cis(\frac{2k\pi}{10})[/tex3] ,[tex3]k=0,1,2,3,...,9[/tex3]
Basta verificar se todas as raízes de Q(x) também são raízes de P(x).
[tex3]P(\theta)=({\theta}^{111})^9+({\theta}^{111})^8+({\theta}^{111})^7+({\theta}^{111})^6+...+({\theta}^{111})+1[/tex3]
[tex3]=\frac{(\theta^{111})^{10}}{{\theta}^{111}-1}=\frac{(\theta^{10})^{111}}{{\theta}^{111}-1}=\frac {(cis(\frac{2k\pi}{10})^{10})^{111}-1}{{\theta}^{111}-1}=\frac {cis(\frac{2k\pi \cdot 10}{10})^{111}-1}{{\theta}^{111}-1}[/tex3]
[tex3]=\frac {cis(\frac{2k\pi \cdot 10}{10})^{111}-1}{{\theta}^{111}-1}=\frac {cis(2k\pi)^{111}-1}{{\theta}^{111}-1}=\frac {1-1}{{\theta}^{111}-1}=0[/tex3]
Desta forma, todas as raízes de Q(x) são raízes de P(x).
Espero que tenha entendido.
Editado pela última vez por FilipeCaceres em 09 Ago 2010, 23:07, em um total de 1 vez.
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