- Imagem2.png (16.14 KiB) Exibido 2102 vezes
Resposta
Perímetro: [tex3]2.\pi.R[/tex3]
Área: [tex3]\pi.R^{2} - 2S[/tex3]
IME / ITA ⇒ (IME - 1995) Geometria Plana
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poti
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Ago 2010
07
19:53
(IME - 1995) Geometria Plana
Três círculos de raio [tex3]R[/tex3]
se interceptam dois a dois, como é mostrado na figura abaixo, contituindo três áreas comuns que formam um trevo. Determine o perímetro do trevo e sua área em função de [tex3]R[/tex3]
e da área [tex3]S[/tex3]
do triângulo [tex3]IJK[/tex3]
.
Resposta:
Perímetro: [tex3]2.\pi.R[/tex3]
Área: [tex3]\pi.R^{2} - 2S[/tex3]
PS: Os círculos de baixo também são secantes. Nenhum deles está tangenciando ninguém.
Resposta:
Perímetro: [tex3]2.\pi.R[/tex3]
Área: [tex3]\pi.R^{2} - 2S[/tex3]
Editado pela última vez por poti em 07 Ago 2010, 19:53, em um total de 1 vez.
VAIRREBENTA!
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FilipeCaceres
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Ago 2010
14
20:49
Re: (IME - 1995) Geometria Plana
Sabendo que [tex3]L=\theta R[/tex3]
Obs.: Considerar na figura
[tex3]a=\alpha[/tex3]
[tex3]b=\beta[/tex3]
[tex3]c=\gamma[/tex3]
Da figura teremos
[tex3]2p=2(2\beta R+2\gamma R + 2 \alpha R)[/tex3]
[tex3]2p=2R(2\beta +2\gamma + 2 \alpha )[/tex3]
Do triângulo [tex3]\Delta IJK[/tex3] podemos observar que [tex3]2\beta +2\gamma + 2 \alpha =\pi[/tex3]
assim temos que o perímetro é [tex3]\boxed{2p=2\pi R}[/tex3]
Vamos calcular a área agora.
Sabendo que [tex3]S_{setor}={\pi R^2}\cdot \frac{\theta}{2\pi}=\frac{\theta R^2}{2}[/tex3]
Assim temos que a área do trevo será a area do setor menos a area [tex3]A_1,A_2,A_3[/tex3]
[tex3]S=(\frac{\theta R^2}{2}-A_x)\cdot 2[/tex3] ; para [tex3]x=1,2,3[/tex3]
[tex3]S=R^2(2\beta +2\gamma + 2 \alpha)-2\underbrace{(A_1+A_2+A_3)}_{S_{(IJK)}}[/tex3]
Assim temos que a área do trevo é dado por: [tex3]\boxed{S_{trevo}=\pi R^2-2S_{(IJK)}}[/tex3]
Espero que entenda o desenho e também a resolução.
Obs.: Considerar na figura
[tex3]a=\alpha[/tex3]
[tex3]b=\beta[/tex3]
[tex3]c=\gamma[/tex3]
Da figura teremos
[tex3]2p=2(2\beta R+2\gamma R + 2 \alpha R)[/tex3]
[tex3]2p=2R(2\beta +2\gamma + 2 \alpha )[/tex3]
Do triângulo [tex3]\Delta IJK[/tex3] podemos observar que [tex3]2\beta +2\gamma + 2 \alpha =\pi[/tex3]
assim temos que o perímetro é [tex3]\boxed{2p=2\pi R}[/tex3]
Vamos calcular a área agora.
Sabendo que [tex3]S_{setor}={\pi R^2}\cdot \frac{\theta}{2\pi}=\frac{\theta R^2}{2}[/tex3]
Assim temos que a área do trevo será a area do setor menos a area [tex3]A_1,A_2,A_3[/tex3]
[tex3]S=(\frac{\theta R^2}{2}-A_x)\cdot 2[/tex3] ; para [tex3]x=1,2,3[/tex3]
[tex3]S=R^2(2\beta +2\gamma + 2 \alpha)-2\underbrace{(A_1+A_2+A_3)}_{S_{(IJK)}}[/tex3]
Assim temos que a área do trevo é dado por: [tex3]\boxed{S_{trevo}=\pi R^2-2S_{(IJK)}}[/tex3]
Espero que entenda o desenho e também a resolução.
- Anexos
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- Trevo.png (18.41 KiB) Exibido 2068 vezes
Editado pela última vez por FilipeCaceres em 14 Ago 2010, 20:49, em um total de 1 vez.
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