Ensino Médio ⇒ Análise Combinatória: Combinações Completas

[pitirep]

Uma loja de veículos oferece apenas três modelos de um certo automóvel: um popular básico, um cupê médio e um sedã luxuoso. Em uma determinada semana houve a venda de 9 veiculos nessa loja, sem o controle do gerente. Ele agora quer saber quantas unidades de cada modelo foram vendidas. 0 popular, 4 cupes e 5 sedãs? Ou teria sido 3 populares, 2 cupes e 4 sedãs? Ou ...? De quantas maneiras distintas pode ter ocorrido a venda daquela semana?

[paulo testoni]

Hola Claudio.

Chamando cada carro de:

popular básico [tex3]= a[/tex3]

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[tex3]= a[/tex3]

cupê médio [tex3]= b[/tex3]

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[tex3]= b[/tex3]

seda luxuoso [tex3]= c[/tex3]

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[tex3]= c[/tex3]

Você pode usar a fórmula para achar o número de soluções inteiras não negativas da equação linear:

• [tex3]a + b + c = 9,[/tex3]

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  [tex3]a + b + c = 9,[/tex3]

não me lembro a fórmula agora.

Uma outra forma seria usar pau I e bola O

como foram vendidos [tex3]9[/tex3]

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[tex3]9[/tex3]

carros, vamos fazer [tex3]9[/tex3]

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[tex3]9[/tex3]

bolas assim:

• O O O O O O O O O,

agora vamos separar essas [tex3]9[/tex3]

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[tex3]9[/tex3]

bolas em três partes (pois são três letras), assim:

• O I O O O O O I O O O,

note que temos [tex3]11[/tex3]

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[tex3]11[/tex3]

símbolos, sendo [tex3]9[/tex3]

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[tex3]9[/tex3]

bolas e [tex3]2[/tex3]

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[tex3]2[/tex3]

paus, então:

• [tex3]\frac{11!}{9!2!} = \frac{11\cdot 10\cdot 9!}{9!2!} = \frac{11\cdot 10}{2}= 55[/tex3]

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  [tex3]\frac{11!}{9!2!} = \frac{11\cdot 10\cdot 9!}{9!2!} = \frac{11\cdot 10}{2}= 55[/tex3]

  maneiras de ter ocorrido a venda daquela semana. Agora precisa analisar a palavra distintos.

Se uma venda distinta não é dessa forma:

[tex3]1 1 7\\
2 2 5\\
3 3 3[/tex3]

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[tex3]1 1 7\\
2 2 5\\
3 3 3[/tex3]

[tex3]4 4 1,[/tex3]

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[tex3]4 4 1,[/tex3]

então temos que descontar: [tex3]10[/tex3]

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[tex3]10[/tex3]

vendas, logo:

• [tex3]55 - 10 = 45,[/tex3]

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  [tex3]55 - 10 = 45,[/tex3]

  e a venda [tex3]0 0 9,[/tex3]

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  [tex3]0 0 9,[/tex3]

  [tex3]0 9 0[/tex3]

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  [tex3]0 9 0[/tex3]

  e [tex3]9 0 0[/tex3]

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  [tex3]9 0 0[/tex3]

  são vendas distintas?

[Karl Weierstrass]

Olá Paulo,

Acho que [tex3]55[/tex3]

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[tex3]55[/tex3]

é a resposta.

O resultado pedido pode ser dado pelo número de combinações completas de [tex3]3[/tex3]

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[tex3]3[/tex3]

elementos (são três modelos distintos), classe [tex3]9[/tex3]

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[tex3]9[/tex3]

:

• [tex3]CR_{3,\,9}\,=\,C_{3+9-1,\,9}\,=\,C_{11,\,9}\,=\,55.[/tex3]

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  [tex3]CR_{3,\,9}\,=\,C_{3+9-1,\,9}\,=\,C_{11,\,9}\,=\,55.[/tex3]

Note que [tex3](0,\,0,\,9)[/tex3]

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[tex3](0,\,0,\,9)[/tex3]

é diferente de [tex3](9,\,0,\,0),[/tex3]

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[tex3](9,\,0,\,0),[/tex3]

onde a terna ordenada [tex3](x_1,\,x_2,\,x_3)[/tex3]

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[tex3](x_1,\,x_2,\,x_3)[/tex3]

indica quantas unidades dos modelos [tex3]x_1,\,x_2\,\, \text{e}\,\, x_3[/tex3]

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[tex3]x_1,\,x_2\,\, \text{e}\,\, x_3[/tex3]

foram vendidas.

Abraço.