Olá a todos!
Dada a função
[tex3]\hspace{70} f(x)=\Large\frac{\left(x\,+\,\Large\frac{1}{x}\large\right)^6\,-\,\left(x^6\,+\,\Large\frac{1}{x^6}\large\right)\,-\,2}{\left(x\,+\,\Large\frac{1}{x}\large\right)^3\,-\,\left(x^3\,+\,\Large\frac{1}{x^3}\large\right)},[/tex3]
para todo [tex3]x \in\mathbb{R}_+^*.[/tex3]
Calcule o valor mínimo de [tex3]f[/tex3]
.
Gostaria de ver a solução através da desigualdade das médias.
Abraços.
Olimpíadas ⇒ Mínimo de uma Função e a Desigualdade das Médias Tópico resolvido
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Mínimo de uma Função e a Desigualdade das Médias
Última edição: italoemanuell (Qua 22 Ago, 2007 10:33). Total de 1 vez.
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04
05:25
Re: Mínimo de uma Função e a Desigualdade das Médias
Belo problema.
Desse modo,
- [tex3]\left(x^3\,+\,\Large\frac{1}{x^3}\right)^2=x^6\,+\,2\,+\,\Large\frac{1}{x^6}\large[/tex3]
[tex3]f(x)=\Large\frac{\left(x\,+\,\Large\frac{1}{x}\large\right)^6\,-\,\left(x^6\,+\,\Large\frac{1}{x^6}\large\,+\,2\right)}{\left(x+\Large\frac{1}{x}\large\right)^3\,-\,\left(x^3\,+\,\Large\frac{1}{x^3}\large\right)}[/tex3]
[tex3]f(x)=\Large\frac{\left(x\,+\,\Large\frac{1}{x}\large\right)^6\,-\,\left(x^3\,+\,\Large\frac{1}{x^3}\right)^2}{\left(x\,+\,\Large\frac{1}{x}\large\right)^3\,-\,\left(x^3\,+\,\Large\frac{1}{x^3}\large\right)}[/tex3]
[tex3]f(x)=\Large\frac{\left[\left(x\,+\,\Large\frac{1}{x}\large\right)^3\,-\,\left(x^3\,+\,\Large\frac{1}{x^3}\large\right)\right]\left[\left(x\,+\,\Large\frac{1}{x}\large\right)^3\,+\,\left(x^3\,+\,\Large\frac{1}{x^3}\large\right)\right]}{\left(x\,+\,\Large\frac{1}{x}\large\right)^3\,-\,\left(x^3\,+\,\Large\frac{1}{x^3}\large\right)}[/tex3]
- [tex3]f(x)=\left(x\,+\,\Large\frac{1}{x}\large\right)^3\,+\,\left(x^3\,+\,\Large\frac{1}{x^3}\large\right)[/tex3]
- [tex3]\Large\frac{a\,+\,b}{2}\large\,\geq \,\sqrt{ab}\,\Longleftrightarrow\, a\,+\,b\,\geq \,2\sqrt{ab}\,\Longleftrightarrow\, \overline{x}\,\geq\,\overline{x}_g,[/tex3]
Desse modo,
- [tex3]x\,+\,\Large\frac{1}{x}\large\,\geq \,2,[/tex3]
[tex3]x^3\,+\,\Large\frac{1}{x^3}\large\,\geq \,2,[/tex3] o que implica no fato de que [tex3]2[/tex3] também é o valor mínimo de [tex3]x^3\,+\,\Large\frac{1}{x^3}[/tex3] . o que implica no fato de que [tex3]2[/tex3]
é o valor mínimo de [tex3]x\,+\,\Large\frac{1}{x}\large[/tex3]
.
- [tex3]f(x)\,\geq\,2^3\,+\,2\,=\,10.[/tex3]
Última edição: Karl Weierstrass (Sex 04 Abr, 2008 05:25). Total de 2 vezes.
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Abr 2008
04
20:56
Re: Mínimo de uma Função e a Desigualdade das Médias
Excelente resolução Karl. Será que você poderia provar matematicalmente porque sempre a média geométrica é menor do que ou igual à média aritmética?
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Abr 2008
04
21:59
Re: Mínimo de uma Função e a Desigualdade das Médias
Pois não.
Sejam [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] números reais positivos.
É óbvio que
Sejam [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] números reais positivos.
É óbvio que
- [tex3](\sqrt x -\sqrt y)^2\,\geq\,0[/tex3]
- [tex3]x \,-\,2\sqrt {xy}\,+\,y\,\geq\,0\,\Longrightarrow\,x\,+\,y\,\geq\, 2\sqrt {xy}[/tex3]
c.q.d. .
Última edição: Karl Weierstrass (Sex 04 Abr, 2008 21:59). Total de 1 vez.
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