OlimpíadasMínimo de uma Função e a Desigualdade das Médias Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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italoemanuell
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Ago 2007 22 10:33

Mínimo de uma Função e a Desigualdade das Médias

Mensagem não lida por italoemanuell »

Olá a todos!

Dada a função

[tex3]\hspace{70} f(x)=\Large\frac{\left(x\,+\,\Large\frac{1}{x}\large\right)^6\,-\,\left(x^6\,+\,\Large\frac{1}{x^6}\large\right)\,-\,2}{\left(x\,+\,\Large\frac{1}{x}\large\right)^3\,-\,\left(x^3\,+\,\Large\frac{1}{x^3}\large\right)},[/tex3]

para todo [tex3]x \in\mathbb{R}_+^*.[/tex3]

Calcule o valor mínimo de [tex3]f[/tex3] .



Gostaria de ver a solução através da desigualdade das médias.
Abraços.

Última edição: italoemanuell (Qua 22 Ago, 2007 10:33). Total de 1 vez.



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Karl Weierstrass
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Abr 2008 04 05:25

Re: Mínimo de uma Função e a Desigualdade das Médias

Mensagem não lida por Karl Weierstrass »

Belo problema.
  • [tex3]\left(x^3\,+\,\Large\frac{1}{x^3}\right)^2=x^6\,+\,2\,+\,\Large\frac{1}{x^6}\large[/tex3]

    [tex3]f(x)=\Large\frac{\left(x\,+\,\Large\frac{1}{x}\large\right)^6\,-\,\left(x^6\,+\,\Large\frac{1}{x^6}\large\,+\,2\right)}{\left(x+\Large\frac{1}{x}\large\right)^3\,-\,\left(x^3\,+\,\Large\frac{1}{x^3}\large\right)}[/tex3]

    [tex3]f(x)=\Large\frac{\left(x\,+\,\Large\frac{1}{x}\large\right)^6\,-\,\left(x^3\,+\,\Large\frac{1}{x^3}\right)^2}{\left(x\,+\,\Large\frac{1}{x}\large\right)^3\,-\,\left(x^3\,+\,\Large\frac{1}{x^3}\large\right)}[/tex3]

    [tex3]f(x)=\Large\frac{\left[\left(x\,+\,\Large\frac{1}{x}\large\right)^3\,-\,\left(x^3\,+\,\Large\frac{1}{x^3}\large\right)\right]\left[\left(x\,+\,\Large\frac{1}{x}\large\right)^3\,+\,\left(x^3\,+\,\Large\frac{1}{x^3}\large\right)\right]}{\left(x\,+\,\Large\frac{1}{x}\large\right)^3\,-\,\left(x^3\,+\,\Large\frac{1}{x^3}\large\right)}[/tex3]
  • [tex3]f(x)=\left(x\,+\,\Large\frac{1}{x}\large\right)^3\,+\,\left(x^3\,+\,\Large\frac{1}{x^3}\large\right)[/tex3]
Desigualdade das Médias: Se [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] são dois números reais positivos, então
  • [tex3]\Large\frac{a\,+\,b}{2}\large\,\geq \,\sqrt{ab}\,\Longleftrightarrow\, a\,+\,b\,\geq \,2\sqrt{ab}\,\Longleftrightarrow\, \overline{x}\,\geq\,\overline{x}_g,[/tex3]
onde [tex3]\overline{x}[/tex3] e [tex3]\overline{x}_g[/tex3] , são, respectivamente, a média aritmética e a média geométrica de [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] .

Desse modo,
  • [tex3]x\,+\,\Large\frac{1}{x}\large\,\geq \,2,[/tex3] o que implica no fato de que [tex3]2[/tex3] é o valor mínimo de [tex3]x\,+\,\Large\frac{1}{x}\large[/tex3] .

    [tex3]x^3\,+\,\Large\frac{1}{x^3}\large\,\geq \,2,[/tex3] o que implica no fato de que [tex3]2[/tex3] também é o valor mínimo de [tex3]x^3\,+\,\Large\frac{1}{x^3}[/tex3] .
Logo,
  • [tex3]f(x)\,\geq\,2^3\,+\,2\,=\,10.[/tex3]
Donde concluímos que o valor mínimo de [tex3]f[/tex3] é [tex3]10[/tex3] .

Última edição: Karl Weierstrass (Sex 04 Abr, 2008 05:25). Total de 2 vezes.



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triplebig
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Re: Mínimo de uma Função e a Desigualdade das Médias

Mensagem não lida por triplebig »

Excelente resolução Karl. Será que você poderia provar matematicalmente porque sempre a média geométrica é menor do que ou igual à média aritmética?



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Karl Weierstrass
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Abr 2008 04 21:59

Re: Mínimo de uma Função e a Desigualdade das Médias

Mensagem não lida por Karl Weierstrass »

Pois não.

Sejam [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] números reais positivos.

É óbvio que
  • [tex3](\sqrt x -\sqrt y)^2\,\geq\,0[/tex3]
Daí,
  • [tex3]x \,-\,2\sqrt {xy}\,+\,y\,\geq\,0\,\Longrightarrow\,x\,+\,y\,\geq\, 2\sqrt {xy}[/tex3] .

    c.q.d.

Última edição: Karl Weierstrass (Sex 04 Abr, 2008 21:59). Total de 1 vez.



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