A figura abaixo ilustra uma circunferência dividida em regiões por três arcos de [tex3]120^\circ[/tex3]
de circunferências de mesmo raio que a anterior. A região hachurada pode ser dividida em partes que podem ser acopladas de maneira a formar um retângulo. Se a circunferência tem raio [tex3]30[/tex3]
, qual o comprimento de um menor lado do retângulo?Pré-Vestibular ⇒ (UFPE - 2004) Geometria Plana Tópico resolvido
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(UFPE - 2004) Geometria Plana
Última edição: ALDRIN (Sáb 26 Jun, 2010 13:53). Total de 1 vez.
"O ângulo inscrito no semicírculo é reto."
Ao descobrir essa verdade Tales fez sacrifício aos deuses.
Hoefer, H., 80.
Ao descobrir essa verdade Tales fez sacrifício aos deuses.
Hoefer, H., 80.
Jun 2010
26
19:03
Re: (UFPE - 2004) Geometria Plana
A base do retângulo vai ter o mesmo tamanho da corda exposta no primeiro desenho pois a região delimitada pelo arco (semicirculo) é a primeira figura que foi transferida para o retângulo. Neste caso, lei dos cossenos pra descobrir o tamanho da corda:
[tex3]X^2 = 900 + 900 - 2.30.30.cos(120)[/tex3]
[tex3]X^2 = 2700[/tex3]
[tex3]X = 30\sqrt{3} = 51[/tex3]
Pela figura não parece ser o menor lado, mas teremos de provar isso. A altura do retângulo vai ser o "raio" do semicirculo + o raio da figura. Ilustrando fica melhor pra ver:
Por pitagoras descobriremos o Y:
[tex3]30^2 = Y^2 + (15\sqrt{3})^2[/tex3]
[tex3]900 - 675 = Y^2[/tex3]
[tex3]Y = \sqrt{225} = 15[/tex3]
Pela figura fica claro que o Z vale 30, pois é o próprio raio. A altura vai ficar assim:
[tex3]Z + (30 - Y)[/tex3]
[tex3]30 + 30 - 15[/tex3]
[tex3]45[/tex3]
Temos então um retângulo de lados:
[tex3]45[/tex3] e [tex3]51[/tex3]
[tex3]X^2 = 900 + 900 - 2.30.30.cos(120)[/tex3]
[tex3]X^2 = 2700[/tex3]
[tex3]X = 30\sqrt{3} = 51[/tex3]
Pela figura não parece ser o menor lado, mas teremos de provar isso. A altura do retângulo vai ser o "raio" do semicirculo + o raio da figura. Ilustrando fica melhor pra ver:
Por pitagoras descobriremos o Y:
[tex3]30^2 = Y^2 + (15\sqrt{3})^2[/tex3]
[tex3]900 - 675 = Y^2[/tex3]
[tex3]Y = \sqrt{225} = 15[/tex3]
Pela figura fica claro que o Z vale 30, pois é o próprio raio. A altura vai ficar assim:
[tex3]Z + (30 - Y)[/tex3]
[tex3]30 + 30 - 15[/tex3]
[tex3]45[/tex3]
Temos então um retângulo de lados:
[tex3]45[/tex3] e [tex3]51[/tex3]
Última edição: poti (Sáb 26 Jun, 2010 19:03). Total de 1 vez.
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