Pré-Vestibular(UFPE - 2004) Geometria Plana Tópico resolvido

Poste aqui problemas de Vestibulares. Informe a fonte, o ano e o assunto. Exemplo: (FUVEST - 2008) Logaritmos.

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ALDRIN
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(UFPE - 2004) Geometria Plana

Mensagem não lida por ALDRIN »

A figura abaixo ilustra uma circunferência dividida em regiões por três arcos de [tex3]120^\circ[/tex3] de circunferências de mesmo raio que a anterior. A região hachurada pode ser dividida em partes que podem ser acopladas de maneira a formar um retângulo. Se a circunferência tem raio [tex3]30[/tex3] , qual o comprimento de um menor lado do retângulo?
CIRC.JPG
CIRC.JPG (8.11 KiB) Exibido 1026 vezes

Última edição: ALDRIN (Sáb 26 Jun, 2010 13:53). Total de 1 vez.


"O ângulo inscrito no semicírculo é reto."
Ao descobrir essa verdade Tales fez sacrifício aos deuses.

Hoefer, H., 80.

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poti
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Re: (UFPE - 2004) Geometria Plana

Mensagem não lida por poti »

A base do retângulo vai ter o mesmo tamanho da corda exposta no primeiro desenho pois a região delimitada pelo arco (semicirculo) é a primeira figura que foi transferida para o retângulo. Neste caso, lei dos cossenos pra descobrir o tamanho da corda:
CIRC.JPG
CIRC.JPG (9.68 KiB) Exibido 1021 vezes
[tex3]X^2 = 900 + 900 - 2.30.30.cos(120)[/tex3]

[tex3]X^2 = 2700[/tex3]

[tex3]X = 30\sqrt{3} = 51[/tex3]

Pela figura não parece ser o menor lado, mas teremos de provar isso. A altura do retângulo vai ser o "raio" do semicirculo + o raio da figura. Ilustrando fica melhor pra ver:
CIRC2.JPG
CIRC2.JPG (10 KiB) Exibido 1021 vezes
Por pitagoras descobriremos o Y:

[tex3]30^2 = Y^2 + (15\sqrt{3})^2[/tex3]

[tex3]900 - 675 = Y^2[/tex3]

[tex3]Y = \sqrt{225} = 15[/tex3]

Pela figura fica claro que o Z vale 30, pois é o próprio raio. A altura vai ficar assim:

[tex3]Z + (30 - Y)[/tex3]

[tex3]30 + 30 - 15[/tex3]

[tex3]45[/tex3]

Temos então um retângulo de lados:
[tex3]45[/tex3] e [tex3]51[/tex3]

:P

Última edição: poti (Sáb 26 Jun, 2010 19:03). Total de 1 vez.


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