Ensino Fundamental ⇒ Menor valor Tópico resolvido

[FilipeCaceres]

Qual é o menor valor que a expressão

[tex3]\sqrt{x^2+1}+ \sqrt {4+(y-z)^2} + \sqrt{1+ (z-x)^2}+ \sqrt{9+(10+z)^2}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{x^2+1}+ \sqrt {4+(y-z)^2} + \sqrt{1+ (z-x)^2}+ \sqrt{9+(10+z)^2}[/tex3]

Pode assumir, sendo [tex3]x,[/tex3]

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[tex3]x,[/tex3]

[tex3]y,[/tex3]

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[tex3]y,[/tex3]

[tex3]z[/tex3]

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[tex3]z[/tex3]

reais?

A) [tex3]7[/tex3]

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[tex3]7[/tex3]

B) [tex3]13[/tex3]

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[tex3]13[/tex3]

C) [tex3]4 + \sqrt{109}[/tex3]

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[tex3]4 + \sqrt{109}[/tex3]

D) [tex3]3 + \sqrt2 + \sqrt{90}[/tex3]

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[tex3]3 + \sqrt2 + \sqrt{90}[/tex3]

E) [tex3]\sqrt{149}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{149}[/tex3]

Resposta

---

Resposta Letra E

[Dilsinho]

EDIT : Resolução abaixo

[agp16]

Olá Pessoal,

Gostei da questão e para visualizar peço permissão a Dilsinho para edita-lo, para que todos possam ter o privilégio de acompanha a Resolução do Rafel da comunidade (orkut) Projeto IME/ITA/AFA/EN :

a última parcela é [tex3](10-y)^2[/tex3]

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[tex3](10-y)^2[/tex3]

. Tenho ela numa ficha aqui;

[tex3]S = \sqrt{x^2+1}+ \sqrt{4+(y-z)^2} + \sqrt{1+ (z-x)^2} + \sqrt{9+(10-y)^2}[/tex3]

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[tex3]S = \sqrt{x^2+1}+ \sqrt{4+(y-z)^2} + \sqrt{1+ (z-x)^2} + \sqrt{9+(10-y)^2}[/tex3]

Definindo os pontos:

[tex3]\begin{cases} A: (x,1) \\ B: (z,2) \\ C: (y,4) \\ D: (10,7) \\ E: (0,0) \end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases} A: (x,1) \\ B: (z,2) \\ C: (y,4) \\ D: (10,7) \\ E: (0,0) \end{cases}[/tex3]

Podemos definir a soma como:
[tex3]S = d(E, A) + d(A,B) + d(B, C) + d(C,D)[/tex3]

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[tex3]S = d(E, A) + d(A,B) + d(B, C) + d(C,D)[/tex3]

Porém, se [tex3]S[/tex3]

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[tex3]S[/tex3]

é mínimo, então [tex3]A, B, C, D e E[/tex3]

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[tex3]A, B, C, D e E[/tex3]

são colineares, logo podemos reescrever [tex3]S[/tex3]

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[tex3]S[/tex3]

como:

[tex3]S_{min} = d(E, D) = \sqrt{10^2 + 7^2} =\boxed{\sqrt{149}}[/tex3]

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[tex3]S_{min} = d(E, D) = \sqrt{10^2 + 7^2} =\boxed{\sqrt{149}}[/tex3]

[FilipeCaceres]

Uma pergunta, da onde se tira os pontos????
Gostei da resolução, mas gostaria de mais detalhes, para que assim eu posso aplicar em outras questões este método.

Só uma observação, eu errei apenas na segunda parcela, onde estava escrito [tex3]\sqrt{4+(y-z)^2}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{4+(y-z)^2}[/tex3]

era para estar escrito [tex3]\sqrt{4+(y-x)^2}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{4+(y-x)^2}[/tex3]

A última parcela é aquela que eu tinha escrito, por acaso a reposta vai ser a mesma???

Agradeço desde já

[Babi123]

Alguém pode explicar a solução que o colega agp16 colocou?

[Ittalo25]

[tex3]S = \sqrt{x^2+1}+ \sqrt{4+(y-z)^2} + \sqrt{1+ (z-x)^2} + \sqrt{9+(10-y)^2}[/tex3]

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[tex3]S = \sqrt{x^2+1}+ \sqrt{4+(y-z)^2} + \sqrt{1+ (z-x)^2} + \sqrt{9+(10-y)^2}[/tex3]

[tex3]S = \sqrt{(x-0)^2+(1-0)^2}+ \sqrt{(4-2)^2+(y-z)^2} + \sqrt{(2-1)^2+ (z-x)^2} + \sqrt{(7-4)^2+(10-y)^2}[/tex3]

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[tex3]S = \sqrt{(x-0)^2+(1-0)^2}+ \sqrt{(4-2)^2+(y-z)^2} + \sqrt{(2-1)^2+ (z-x)^2} + \sqrt{(7-4)^2+(10-y)^2}[/tex3]

Por isso ele definiu os pontos: [tex3]\begin{cases} A: (x,1) \\ B: (z,2) \\ C: (y,4) \\ D: (10,7) \\ E: (0,0) \end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases} A: (x,1) \\ B: (z,2) \\ C: (y,4) \\ D: (10,7) \\ E: (0,0) \end{cases}[/tex3]

E viu que S é a soma das distâncias: [tex3]S = d(E, A) + d(A,B) + d(B, C) + d(C,D)[/tex3]

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[tex3]S = d(E, A) + d(A,B) + d(B, C) + d(C,D)[/tex3]

(Lembre-se da fórmula da distância entre 2 pontos)

triangulo.png (95.43 KiB) Exibido 757 vezes

A menor distância é quando os pontos estiverem alinhados. Intuitivamente isso é fácil de ver, formalmente pode-se pensar na desigualdade triangular.

Por isso que ele calculou a distância ED, que é a hipotenusa do triângulo retângulo de catetos 10 e 7.

[Babi123]

Perfeito Ittalo25, agora ficou esclarecido!