a) De quantas maneiras é possível escolher [tex3]10[/tex3] garrafas desse lote?
Resposta
[tex3]3003[/tex3] .
Resposta
[tex3]450[/tex3] .
Resposta
[tex3]\simeq 34,8\%[/tex3] .
Pré-Vestibular ⇒ (FUVEST - 2009) Análise Combinatória
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Ago 2009
14
18:28
(FUVEST - 2009) Análise Combinatória
Um apreciador deseja adquirir, para sua adega, [tex3]10[/tex3]
garrafas de vinho de um lote constituído por [tex3]4[/tex3]
garrafas da Espanha, [tex3]5[/tex3]
garrafas da Itália e [tex3]6[/tex3]
garrafas da França, todas de diferentes marcas.
a) De quantas maneiras é possível escolher [tex3]10[/tex3] garrafas desse lote?
[tex3]3003[/tex3] .
b) De quantas maneiras é possível escolher [tex3]10[/tex3]
garrafas do lote, sendo [tex3]2[/tex3]
garrafas da Espanha, [tex3]4[/tex3]
da Itália e [tex3]4[/tex3]
da França?
[tex3]450[/tex3] .
c) Qual é a probabilidade de que, escolhidas ao acaso, [tex3]10[/tex3]
garrafas do lote, haja exatamente [tex3]4[/tex3]
garrafas da Itália e, pelo menos, uma garrafa de cada um dos outros dois países?
[tex3]\simeq 34,8\%[/tex3] .
a) De quantas maneiras é possível escolher [tex3]10[/tex3] garrafas desse lote?
[tex3]3003[/tex3] .
[tex3]450[/tex3] .
[tex3]\simeq 34,8\%[/tex3] .
Última edição: caju (Qua 27 Set, 2017 18:31). Total de 2 vezes.
Razão: TeX --> TeX3
Razão: TeX --> TeX3
Ago 2009
15
12:05
Re: (FUVEST - 2009) Análise Combinatória
Um apreciador deseja adquirir, para sua adega, [tex3]10[/tex3]
garrafas de vinho de um lote constituído por [tex3]4[/tex3]
garrafas da Espanha, [tex3]5[/tex3]
garrafas da Itália e [tex3]6[/tex3]
garrafas da França, todas de diferentes marcas.
a) De quantas maneiras é possível escolher [tex3]10[/tex3] garrafas desse lote?
[tex3]\frac{15.14.13.12.11.10.9.8.7.6}{10.9.8.7.6.5.4.3.2.1} = 3003[/tex3]
b) De quantas maneiras é possível escolher [tex3]10[/tex3] garrafas do lote, sendo [tex3]2[/tex3] garrafas da Espanha, [tex3]4[/tex3] da Itália e [tex3]4[/tex3] da França?
[tex3]\frac{4.3}{2.1} . \frac{5.4.3.2}{4.3.2.1} . \frac{6.5.4.3}{4.3.2.1} = 450[/tex3]
a) De quantas maneiras é possível escolher [tex3]10[/tex3] garrafas desse lote?
[tex3]\frac{15.14.13.12.11.10.9.8.7.6}{10.9.8.7.6.5.4.3.2.1} = 3003[/tex3]
b) De quantas maneiras é possível escolher [tex3]10[/tex3] garrafas do lote, sendo [tex3]2[/tex3] garrafas da Espanha, [tex3]4[/tex3] da Itália e [tex3]4[/tex3] da França?
[tex3]\frac{4.3}{2.1} . \frac{5.4.3.2}{4.3.2.1} . \frac{6.5.4.3}{4.3.2.1} = 450[/tex3]
Última edição: caju (Qua 27 Set, 2017 18:31). Total de 2 vezes.
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joaopcarv 
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Set 2017
25
15:01
Re: (FUVEST - 2009) Análise Combinatória
Adoro responder a essas questões antigas da FUVEST... kkkk. 
[tex3]a)[/tex3]
Admitindo que os vinhos do mesmo país são diferentes... (por exemplo, de outra marca, região, época, etc)...
Temos um total de :
[tex3]\underbrace{4}_\text{espanhois} \ + \ \underbrace{5}_\text{italianos} \ + \ \underbrace{6}_\text{franceses} \ = \ 15 \ vinhos \ ! [/tex3]
Vamos escolher [tex3]10[/tex3] garrafas de um lote de [tex3]15[/tex3] garrafas no total. Como a ordem das garrafas não nos interessa, descartamos permutações internas. Por isso, fazemos a seguinte combinação :
[tex3]C_{(15,10)} \ = \ \binom{15}{10} \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]\frac{15!}{(15 \ - \ 10)! \ . \ 10!}[/tex3]
[tex3]\frac{15 \ . \ 14 \ . \ 13 \ . \ 11 \ . \cancel{\ 12 \ . \ 10} \ . \cancel{9!}}{\cancel{5!} \ . \ 10 \ . \cancel{9!}}[/tex3]
[tex3]\frac{30030}{10}[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{3003 \ combinações \ diferentes \ !}}[/tex3]
[tex3]b)[/tex3]
A ordem das garrafas não importa... permutações internas descartadas [tex3]\rightarrow[/tex3] combinação...
Para os vinhos espanhois [tex3]\rightarrow[/tex3]
Escolher [tex3]2[/tex3] de [tex3]4[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3]
[tex3]C_{(4,2)} \ = \ \binom{4}{2} \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]\frac{4!}{(4 \ - \ 2)! \ . \ 2!} \ = [/tex3]
[tex3]\frac{4!}{2! \ . \ 2!} \ =[/tex3]
[tex3]6 \ combinações \ para \ os \ vinhos \ espanhois ![/tex3]
Para os vinhos italianos [tex3]\rightarrow[/tex3]
Escolher [tex3]4[/tex3] de [tex3]5[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3]
[tex3]C_{(5,4)} \ = \ \binom{5}{4} \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]\frac{5!}{(5 \ - \ 4)! \ . \ 4!} \ = [/tex3]
[tex3]\frac{5!}{1! \ . \ 4!} \ =[/tex3]
[tex3]5 \ combinações \ para \ os \ vinhos \ italianos ![/tex3]
Para os vinhos franceses [tex3]\rightarrow[/tex3]
Escolher [tex3]4[/tex3] de [tex3]6[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3]
[tex3]C_{(6,4)} \ = \ \binom{6}{4} \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]\frac{6!}{(6 \ - \ 4)! \ . \ 4!} \ = [/tex3]
[tex3]\frac{6!}{2! \ . \ 4!} \ =[/tex3]
[tex3]15 \ combinações \ para \ os \ vinhos \ franceses ![/tex3]
Como é para escolher [tex3]2[/tex3] da Espanha E [tex3]4[/tex3] da Itália E [tex3]4[/tex3] da França, utilizamos a "regra do E" :
[tex3]\underbrace{6}_\text{Espanha} \ . \underbrace{ 5}_\text{Itália} \ . \ \underbrace{15}_\text{França} \ = [/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{450 \ combinações \ possíveis \ !}}[/tex3]
[tex3]c)[/tex3]
Temos o seguinte panorama [tex3]\rightarrow[/tex3]
Para as garrafas italianas, vamos calcular de quantas formas podemos combinar [tex3]4[/tex3] de [tex3]5[/tex3] . Já fizemos esse cálculo ([tex3]C_{(5,4)}[/tex3] ) que dá [tex3]5[/tex3] .
Vamos agora ver como podemos organizar as garrafas restantes [tex3]\rightarrow[/tex3]
De [tex3]10[/tex3] , já foram [tex3]4[/tex3] . Restam [tex3]6[/tex3] , dentre os vinhos franceses e espanhois.
Podemos ter :
[tex3]\rightarrow[/tex3] [tex3]5[/tex3] franceses e [tex3]1[/tex3] espanhol :
Há [tex3]C_{(6,5)} \ . \ C_{(4,1)} \ = \ 6 \ . \ 4 \ = 24[/tex3] formas de se combinar assim;
[tex3]\rightarrow[/tex3] [tex3]4[/tex3] franceses e [tex3]2[/tex3] espanhois :
Há [tex3]C_{(6,4)} \ . \ C_{(4,2)} \ = \ \frac{6!}{\cancel{4!} \ . \ 2!} \ . \ \frac{\cancel{4!}}{2! \ . \ 2!} \ = \ \frac{720}{8} \ = \ 90[/tex3] formas de se combinar dessa forma;
[tex3]\rightarrow[/tex3] [tex3]3[/tex3] franceses e também espanhois :
Há [tex3]C_{(6,3)} \ . \ C_{(4,3)} \ = \ \frac{6!}{3! \ . \ 3!} \ . \ \frac{4!}{3! \ . \ 1!} \ = \ \frac{\cancel{6} \ . \ 5 \ . \ 4 \ . \ \cancel{3!} \ . \ 4 \ . \cancel{3!}}{\cancel{3!} \ . \ \cancel{3!} \ . \ \cancel{3!}} \ = \ 80[/tex3] possibilidades !
[tex3]\rightarrow[/tex3] [tex3]2[/tex3] franceses e [tex3]4[/tex3] espanhois :
Há [tex3]C_{(6,2)} \ . \ C_{(4,4)} \ = \ \frac{6!}{4! \ . \ 2!} \ . \ \cancelto{1}{\frac{4!}{(4 \ - \ 4)! \ . \ 4!}} \ = \ \frac{6 \ . \ 5 \ . \cancel{4!}}{\cancel{4!} \ . \ 2!} \ = \ 15[/tex3] possibilidades desse jeito !
Não há mais como, pois os vinhos espanhois são o
Veja que, para as combinações que acabamos de fazer entre franceses e espanhois, estamos falando de
[tex3]24 \ + \ 90 \ + \ 80 \ + \ 15 \ = [/tex3]
[tex3]209[/tex3] combinações totais entre vinhos franceses e espanhois !
Agora sim, vamos juntar as combinações totais de italianos E as combinações totais de franceses com espanhois :
[tex3]\underbrace{5}_\text{italianos} \ . \ \underbrace{209}_\text{espanhois e franceses}[/tex3] \ = \
[tex3]1045[/tex3] possilibilidades totais favoráveis !
A probabilidade pedida é a razão entre essas possilibilidades totais favoráveis e as totais ([tex3]3003[/tex3] ) :
[tex3]\frac{1045}{3003} \ \rightarrow \boxed{\boxed{ \approx \ 34,8 \%}}[/tex3]
[tex3]a)[/tex3]
Admitindo que os vinhos do mesmo país são diferentes... (por exemplo, de outra marca, região, época, etc)...
Temos um total de :
[tex3]\underbrace{4}_\text{espanhois} \ + \ \underbrace{5}_\text{italianos} \ + \ \underbrace{6}_\text{franceses} \ = \ 15 \ vinhos \ ! [/tex3]
Vamos escolher [tex3]10[/tex3] garrafas de um lote de [tex3]15[/tex3] garrafas no total. Como a ordem das garrafas não nos interessa, descartamos permutações internas. Por isso, fazemos a seguinte combinação :
[tex3]C_{(15,10)} \ = \ \binom{15}{10} \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]\frac{15!}{(15 \ - \ 10)! \ . \ 10!}[/tex3]
[tex3]\frac{15 \ . \ 14 \ . \ 13 \ . \ 11 \ . \cancel{\ 12 \ . \ 10} \ . \cancel{9!}}{\cancel{5!} \ . \ 10 \ . \cancel{9!}}[/tex3]
[tex3]\frac{30030}{10}[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{3003 \ combinações \ diferentes \ !}}[/tex3]
[tex3]b)[/tex3]
A ordem das garrafas não importa... permutações internas descartadas [tex3]\rightarrow[/tex3] combinação...
Para os vinhos espanhois [tex3]\rightarrow[/tex3]
Escolher [tex3]2[/tex3] de [tex3]4[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3]
[tex3]C_{(4,2)} \ = \ \binom{4}{2} \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]\frac{4!}{(4 \ - \ 2)! \ . \ 2!} \ = [/tex3]
[tex3]\frac{4!}{2! \ . \ 2!} \ =[/tex3]
[tex3]6 \ combinações \ para \ os \ vinhos \ espanhois ![/tex3]
Para os vinhos italianos [tex3]\rightarrow[/tex3]
Escolher [tex3]4[/tex3] de [tex3]5[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3]
[tex3]C_{(5,4)} \ = \ \binom{5}{4} \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]\frac{5!}{(5 \ - \ 4)! \ . \ 4!} \ = [/tex3]
[tex3]\frac{5!}{1! \ . \ 4!} \ =[/tex3]
[tex3]5 \ combinações \ para \ os \ vinhos \ italianos ![/tex3]
Para os vinhos franceses [tex3]\rightarrow[/tex3]
Escolher [tex3]4[/tex3] de [tex3]6[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3]
[tex3]C_{(6,4)} \ = \ \binom{6}{4} \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]\frac{6!}{(6 \ - \ 4)! \ . \ 4!} \ = [/tex3]
[tex3]\frac{6!}{2! \ . \ 4!} \ =[/tex3]
[tex3]15 \ combinações \ para \ os \ vinhos \ franceses ![/tex3]
Como é para escolher [tex3]2[/tex3] da Espanha E [tex3]4[/tex3] da Itália E [tex3]4[/tex3] da França, utilizamos a "regra do E" :
[tex3]\underbrace{6}_\text{Espanha} \ . \underbrace{ 5}_\text{Itália} \ . \ \underbrace{15}_\text{França} \ = [/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{450 \ combinações \ possíveis \ !}}[/tex3]
[tex3]c)[/tex3]
Temos o seguinte panorama [tex3]\rightarrow[/tex3]
Para as garrafas italianas, vamos calcular de quantas formas podemos combinar [tex3]4[/tex3] de [tex3]5[/tex3] . Já fizemos esse cálculo ([tex3]C_{(5,4)}[/tex3] ) que dá [tex3]5[/tex3] .
Vamos agora ver como podemos organizar as garrafas restantes [tex3]\rightarrow[/tex3]
De [tex3]10[/tex3] , já foram [tex3]4[/tex3] . Restam [tex3]6[/tex3] , dentre os vinhos franceses e espanhois.
Podemos ter :
[tex3]\rightarrow[/tex3] [tex3]5[/tex3] franceses e [tex3]1[/tex3] espanhol :
Há [tex3]C_{(6,5)} \ . \ C_{(4,1)} \ = \ 6 \ . \ 4 \ = 24[/tex3] formas de se combinar assim;
[tex3]\rightarrow[/tex3] [tex3]4[/tex3] franceses e [tex3]2[/tex3] espanhois :
Há [tex3]C_{(6,4)} \ . \ C_{(4,2)} \ = \ \frac{6!}{\cancel{4!} \ . \ 2!} \ . \ \frac{\cancel{4!}}{2! \ . \ 2!} \ = \ \frac{720}{8} \ = \ 90[/tex3] formas de se combinar dessa forma;
[tex3]\rightarrow[/tex3] [tex3]3[/tex3] franceses e também espanhois :
Há [tex3]C_{(6,3)} \ . \ C_{(4,3)} \ = \ \frac{6!}{3! \ . \ 3!} \ . \ \frac{4!}{3! \ . \ 1!} \ = \ \frac{\cancel{6} \ . \ 5 \ . \ 4 \ . \ \cancel{3!} \ . \ 4 \ . \cancel{3!}}{\cancel{3!} \ . \ \cancel{3!} \ . \ \cancel{3!}} \ = \ 80[/tex3] possibilidades !
[tex3]\rightarrow[/tex3] [tex3]2[/tex3] franceses e [tex3]4[/tex3] espanhois :
Há [tex3]C_{(6,2)} \ . \ C_{(4,4)} \ = \ \frac{6!}{4! \ . \ 2!} \ . \ \cancelto{1}{\frac{4!}{(4 \ - \ 4)! \ . \ 4!}} \ = \ \frac{6 \ . \ 5 \ . \cancel{4!}}{\cancel{4!} \ . \ 2!} \ = \ 15[/tex3] possibilidades desse jeito !
Não há mais como, pois os vinhos espanhois são o
limitante aqui.Veja que, para as combinações que acabamos de fazer entre franceses e espanhois, estamos falando de
eventos independentes, ou seja, "regra do OU" : [tex3]24 \ + \ 90 \ + \ 80 \ + \ 15 \ = [/tex3]
[tex3]209[/tex3] combinações totais entre vinhos franceses e espanhois !
Agora sim, vamos juntar as combinações totais de italianos E as combinações totais de franceses com espanhois :
[tex3]\underbrace{5}_\text{italianos} \ . \ \underbrace{209}_\text{espanhois e franceses}[/tex3] \ = \
[tex3]1045[/tex3] possilibilidades totais favoráveis !
A probabilidade pedida é a razão entre essas possilibilidades totais favoráveis e as totais ([tex3]3003[/tex3] ) :
[tex3]\frac{1045}{3003} \ \rightarrow \boxed{\boxed{ \approx \ 34,8 \%}}[/tex3]
That's all I'd do all day. I'd just be the catcher in the rye and all.
"Last year's wishes are this year's apologies... Every last time I come home (...)"
Poli-USP
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