DemonstraçõesDemonstração - Teorema de Menelaus (Geometria Plana) Tópico resolvido

Fórum de coletânea das melhores demonstrações de teoremas de matemática.
Se você quiser postar uma demonstração aqui, poste, inicialmente, no fórum correspondente utilizando o título "Demonstração Teorema X" e substitua com o nome do teorema/fórmula que você postou e, depois, envie o link para um moderador pedindo para sua mensagem ser movida para o fórum "Demonstrações". Somente moderadores poderão mover sua mensagem para este fórum.

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Avatar do usuário
Autor do Tópico
italoemanuell
1 - Trainee
Mensagens: 202
Registrado em: Ter 26 Jun, 2007 17:33
Última visita: 29-12-11
Jun 2007 28 10:36

Demonstração - Teorema de Menelaus (Geometria Plana)

Mensagem não lida por italoemanuell »

A partir de hoje estarei aqui postando teoremas geométricos, pouco vistos em livros comuns, e que costumam cai no ime pedindo para provar alguma colinearidade entre pontos!!

"Teorema de Menelaus"
Screen Shot 2017-06-16 at 12.11.53.png
Screen Shot 2017-06-16 at 12.11.53.png (11.44 KiB) Exibido 6111 vezes
Então vale a seguinte propriedade:

[tex3]\frac{\overline{CG}}{\overline{AE}}=\frac{\overline{CD}}{\overline{AD}}[/tex3] e [tex3]\frac{\overline{CG}}{\overline{BE}}=\frac{\overline{FC}}{\overline{FB}}[/tex3] ,ou seja, [tex3]\overline{AE}\cdot\overline{CD}\cdot\overline{FB}=\overline{AD}\cdot\overline{BE}\cdot\overline{FC}[/tex3]

Espero que tenham gostado, então tentem provar a mesma!!!! Bem como tbm sua reciprocidade!!!! fui...

Última edição: italoemanuell (Qui 28 Jun, 2007 10:36). Total de 2 vezes.



marco_sx
2 - Nerd
Mensagens: 150
Registrado em: Dom 11 Fev, 2007 23:26
Última visita: 20-08-15
Localização: São Paulo
Jul 2007 06 20:06

Demonstração do Teorema de Menelaus

Mensagem não lida por marco_sx »

mene.png
mene.png (19.87 KiB) Exibido 17971 vezes
[tex3]\overline{GC}// \overline{AB}[/tex3]

Pelo caso AAA, temos: [tex3]\Delta ADE \sim \Delta CDG[/tex3]

[tex3]\frac{\overline{AE}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{CG}}{\overline{CD}} \Rightarrow \overline{CG}=\frac{\overline{AE}\cdot \overline{CD}}{\overline{AD}}[/tex3] (I)

Também pelo caso AAA, temos: [tex3]\Delta BEF \sim \Delta CGF[/tex3]

[tex3]\frac{\overline{BE}}{\overline{FB}}=\frac{\overline{CG}}{\overline{FC}} \Rightarrow \overline{CG}=\frac{\overline{BE}\cdot \overline{FC}}{\overline{FB}}[/tex3] (II)

(I)=(II) : [tex3]\frac{\overline{AE}\cdot \overline{CD}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BE}\cdot \overline{FC}}{\overline{FB}} \Rightarrow \overline{AE}\cdot \overline{CD}\cdot \overline{FB}=\overline{AD}\cdot \overline{BE}\cdot \overline{FC}[/tex3]

Última edição: marco_sx (Sex 06 Jul, 2007 20:06). Total de 3 vezes.



Avatar do usuário
bmachado
sênior
Mensagens: 35
Registrado em: Ter 28 Fev, 2012 22:51
Última visita: 31-07-12
Mar 2012 18 14:32

Re: Geometria Plana: Teorema de Menelaus

Mensagem não lida por bmachado »

Obrigado nunca tinha visto!



Movido de Ensino Médio para Demonstrações em Sex 16 Jun, 2017 12:19 por caju

Deleted User 24633
6 - Doutor
Última visita: 31-12-69
Ago 2020 08 22:14

Re: Demonstração - Teorema de Menelaus (Geometria Plana)

Mensagem não lida por Deleted User 24633 »

Olá gente! Recentemente, um problema me induziu a uma demonstração do teorema de Menelaus que até então eu não tinha visto... e resolvi compartilhar.
Eu sei que muito provavelmente esta demonstração é conhecida ou já foi descoberta mas enfim...

Considere o triângulo [tex3]ABC[/tex3] e a reta [tex3]PR[/tex3] que intercepta [tex3]AC[/tex3] em [tex3]Q[/tex3] :
menelaus.png
menelaus.png (17.26 KiB) Exibido 187 vezes
O teorema de Menelaus diz que [tex3]\frac{PA}{PB}\cdot \frac{RB}{RC}\cdot \frac{QC}{QA}=1[/tex3]

Prova:

Consider a reta [tex3]l[/tex3] paralela a [tex3]PR[/tex3] pelo ponto [tex3]B[/tex3]
menelaus2.png
menelaus2.png (24.36 KiB) Exibido 187 vezes
Pelo teorema de Tales [tex3]\frac{PA}{PB}=\frac{QA}{QT}.[/tex3]
Pelas propriedades do paralelismo [tex3]\triangle QCR \sim \triangle TCB[/tex3] então [tex3]\frac{RB}{RC}=\frac{QT}{QC}.[/tex3]

Assim [tex3]\frac{PA}{PB}\cdot \frac{RB}{RC}\cdot \frac{QC}{QA}=\frac{QA}{QT}\cdot \frac{QT}{QC}\cdot \frac{QC}{QA}=1[/tex3] como queríamos demonstrar.




Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg

Voltar para “Demonstrações”