é o centro do círculo, P é um ponto qualquer do seu interior, Med(PM)=Med(MB)=a e AB é tangente ao círculo em A. Se [tex3]a^2=bc[/tex3] , o raio do círculo é igual a:
- P50.jpg (7.1 KiB) Exibido 2882 vezes
(B) |2a+c-b|
(C) |a+b-c|
(D) |2a-c|
(E) |b-c|
IME / ITA ⇒ (Colégio Naval - 1989) Geometria Plana: Potência de Ponto Tópico resolvido
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alinebotelho 
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Jun 2007
27
19:30
(Colégio Naval - 1989) Geometria Plana: Potência de Ponto
Na figura abaixo tem-se que O é o centro do círculo, P é um ponto qualquer do seu interior, Na figura abaixo tem-se que O
é o centro do círculo, P é um ponto qualquer do seu interior, Med(PM)=Med(MB)=a e AB é tangente ao círculo em A. Se [tex3]a^2=bc[/tex3] , o raio do círculo é igual a:
(A) |a+c-b|
(B) |2a+c-b|
(C) |a+b-c|
(D) |2a-c|
(E) |b-c|
é o centro do círculo, P é um ponto qualquer do seu interior, Med(PM)=Med(MB)=a e AB é tangente ao círculo em A. Se [tex3]a^2=bc[/tex3] , o raio do círculo é igual a:
(A) |a+c-b|
(B) |2a+c-b|
(C) |a+b-c|
(D) |2a-c|
(E) |b-c|
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caju
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03
11:09
Re: (Colégio Naval - 1989) Geometria Plana: Potência de Ponto
Olá alinebotelho,
Para resolver esta questão, devemos "esticar"alguns segmentos do desenho para obter a resposta:
Note que já escrevi o comprimento de cada segmento, sendo que nomeei o segmento DP como sendo X. Portanto, nosso primeiro passo é descobrir quanto vale X.
Vamos aplicar a potência de ponto no ponto P:
[tex3](R+c)\cdot (R-c) = a\cdot X[/tex3]
[tex3]R^2-c^2=a\cdot X[/tex3]
[tex3]X=\frac{R^2-c^2}{a}[/tex3]
Guardamos este valor e aplicamos a potência de ponto no ponto B:
[tex3]b^2=a\cdot(2a+X)[/tex3]
[tex3]b^2=2a^2+a\cdot X[/tex3]
E substituímos o valor de X encontrado anteriormente:
[tex3]b^2=2a^2+a\cdot \frac{R^2-c^2}{a}[/tex3]
[tex3]b^2=2a^2+R^2-c^2[/tex3]
Isolamos o [tex3]R^2[/tex3]
[tex3]R^2=b^2-2a^2+c^2[/tex3]
Só que o enunciado nos diz que [tex3]a^2=bc[/tex3] , portanto, podemos substituir:
[tex3]R^2=b^2-2bc+c^2[/tex3]
No lado direito temos um trinômio quadrado perfeito:
[tex3]R^2=(b-c)^2[/tex3]
[tex3]R=\sqrt{(b-c)^2}[/tex3]
O lado direito da equação acima é exatamente a definição de módulo de (b-c), ou seja:
[tex3]R=|b-c|[/tex3]
Para resolver esta questão, devemos "esticar"alguns segmentos do desenho para obter a resposta:
Note que já escrevi o comprimento de cada segmento, sendo que nomeei o segmento DP como sendo X. Portanto, nosso primeiro passo é descobrir quanto vale X.
Vamos aplicar a potência de ponto no ponto P:
[tex3](R+c)\cdot (R-c) = a\cdot X[/tex3]
[tex3]R^2-c^2=a\cdot X[/tex3]
[tex3]X=\frac{R^2-c^2}{a}[/tex3]
Guardamos este valor e aplicamos a potência de ponto no ponto B:
[tex3]b^2=a\cdot(2a+X)[/tex3]
[tex3]b^2=2a^2+a\cdot X[/tex3]
E substituímos o valor de X encontrado anteriormente:
[tex3]b^2=2a^2+a\cdot \frac{R^2-c^2}{a}[/tex3]
[tex3]b^2=2a^2+R^2-c^2[/tex3]
Isolamos o [tex3]R^2[/tex3]
[tex3]R^2=b^2-2a^2+c^2[/tex3]
Só que o enunciado nos diz que [tex3]a^2=bc[/tex3] , portanto, podemos substituir:
[tex3]R^2=b^2-2bc+c^2[/tex3]
No lado direito temos um trinômio quadrado perfeito:
[tex3]R^2=(b-c)^2[/tex3]
[tex3]R=\sqrt{(b-c)^2}[/tex3]
O lado direito da equação acima é exatamente a definição de módulo de (b-c), ou seja:
[tex3]R=|b-c|[/tex3]
"A beleza de ser um eterno aprendiz..."
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