IME / ITA ⇒ (ITA) Equações Trigonométricas Tópico resolvido

[Reykjavik]

A soma das raízes da equação :

[tex3]\sqrt{3}\tg x - \sqrt{3} \sen2x + \cos 2x = 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{3}\tg x - \sqrt{3} \sen2x + \cos 2x = 0[/tex3]

que pertencem ao intervalo [tex3][0 ; 2\pi][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3][0 ; 2\pi][/tex3]

é:

A. [tex3]\frac {17 \pi}{4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac {17 \pi}{4}[/tex3]

B. [tex3]\frac {16 \pi}{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac {16 \pi}{3}[/tex3]

C. [tex3]\frac {15 \pi}{4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac {15 \pi}{4}[/tex3]

D. [tex3]\frac {14 \pi}{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac {14 \pi}{3}[/tex3]

E. [tex3]\frac {13 \pi}{4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac {13 \pi}{4}[/tex3]

[triplebig]

Antes de eu tentar resolver, o correto é [tex3]\sqrt{3}\cdot\tg x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{3}\cdot\tg x[/tex3]

ou é o que está digitado?

[joynobre]

desculpa me meter mas eu tenho uma apostila com essa questão e a tgx está fora da raiz.

[Reykjavik]

Antes de eu tentar resolver, o correto é [tex3]\sqrt{3}\cdot\text{tg}x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{3}\cdot\text{tg}x[/tex3]

ou é o que está digitado?

Boa percepeção triplebig pois o que você acha que está correto está certo.

E também concordando com o joynobre, está correto: tgx está fora da raiz.

Desculpe pelo erro. Será que algum moderador poderia editar:

para [tex3]\rightarrow[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\rightarrow[/tex3]

[tex3]\begin{array}{c} &&&&&&&& \sqrt{3}tgx - \sqrt{3} sen2x + cos2x = 0 \end{array}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{array}{c} &&&&&&&& \sqrt{3}tgx - \sqrt{3} sen2x + cos2x = 0 \end{array}[/tex3]

que pertencem ao intervalo [tex3][0 ; 2\pi][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3][0 ; 2\pi][/tex3]

é:

A. [tex3]\frac {17 \pi}{4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac {17 \pi}{4}[/tex3]

B. [tex3]\frac {16 \pi}{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac {16 \pi}{3}[/tex3]

C. [tex3]\frac {15 \pi}{4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac {15 \pi}{4}[/tex3]

D. [tex3]\frac {14 \pi}{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac {14 \pi}{3}[/tex3]

E. [tex3]\frac {13 \pi}{4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac {13 \pi}{4}[/tex3]

[triplebig]

Okay editado.

Dividindo ambos os lados por [tex3]\text{sen}2x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\text{sen}2x[/tex3]

:

[tex3]\sqrt{3}\cdot\frac{1}{2\cos^2x}-\sqrt{3}+\text{cotg}2x=0\\
\therefore\;\sqrt{3}\cdot \frac{-\cos 2x}{2\cos^2x}+\frac{1-\text{tg}^2x}{2\text{tg}x}=0\\
\therefore\;\sqrt{3}\cdot\frac{\cos2x}{\cos^2x}=\frac{\cos2x}{\cos^2x\cdot\text{tg}x}\\
\therefore\;\text{tg}x=\frac{\sqrt{3}}{3}\text{ ou }\cos2x=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{3}\cdot\frac{1}{2\cos^2x}-\sqrt{3}+\text{cotg}2x=0\\
\therefore\;\sqrt{3}\cdot \frac{-\cos 2x}{2\cos^2x}+\frac{1-\text{tg}^2x}{2\text{tg}x}=0\\
\therefore\;\sqrt{3}\cdot\frac{\cos2x}{\cos^2x}=\frac{\cos2x}{\cos^2x\cdot\text{tg}x}\\
\therefore\;\text{tg}x=\frac{\sqrt{3}}{3}\text{ ou }\cos2x=0[/tex3]

[tex3]\text{tg}x=\frac{\sqrt{3}}{3}\;\Rightarrow\;x=\left\{\frac{\pi}{6}\,,\,\frac{7\pi}{6}\right\}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\text{tg}x=\frac{\sqrt{3}}{3}\;\Rightarrow\;x=\left\{\frac{\pi}{6}\,,\,\frac{7\pi}{6}\right\}[/tex3]

[tex3]\cos 2x=0\;\Rightarrow\;2x=\frac{\pi}{2}+k\pi\;\therefore\;x=\left\{\frac{\pi}{4}\,,\,\frac{3\pi}{4}\,,\,\frac{5\pi}{4}\,,\,\frac{7\pi}{4}\right\}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos 2x=0\;\Rightarrow\;2x=\frac{\pi}{2}+k\pi\;\therefore\;x=\left\{\frac{\pi}{4}\,,\,\frac{3\pi}{4}\,,\,\frac{5\pi}{4}\,,\,\frac{7\pi}{4}\right\}[/tex3]

Nenhuma das raízes fere as condições iniciais do problema, logo a soma de todas as raízes é [tex3]\boxed{\frac{16\pi}{3}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{\frac{16\pi}{3}}[/tex3]

[thcunha]

Okay editado.

Dividindo ambos os lados por [tex3]\text{sen}2x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\text{sen}2x[/tex3]

:

[tex3]\sqrt{3}\cdot\frac{1}{2\cos^2x}-\sqrt{3}+\text{cotg}2x=0\\
\therefore\;\sqrt{3}\cdot \frac{-\cos 2x}{2\cos^2x}+\frac{1-\text{tg}^2x}{2\text{tg}x}=0\\
\therefore\;\sqrt{3}\cdot\frac{\cos2x}{\cos^2x}=\frac{\cos2x}{\cos^2x\cdot\text{tg}x}\\
\therefore\;\text{tg}x=\frac{\sqrt{3}}{3}\text{ ou }\cos2x=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{3}\cdot\frac{1}{2\cos^2x}-\sqrt{3}+\text{cotg}2x=0\\
\therefore\;\sqrt{3}\cdot \frac{-\cos 2x}{2\cos^2x}+\frac{1-\text{tg}^2x}{2\text{tg}x}=0\\
\therefore\;\sqrt{3}\cdot\frac{\cos2x}{\cos^2x}=\frac{\cos2x}{\cos^2x\cdot\text{tg}x}\\
\therefore\;\text{tg}x=\frac{\sqrt{3}}{3}\text{ ou }\cos2x=0[/tex3]

[tex3]\text{tg}x=\frac{\sqrt{3}}{3}\;\Rightarrow\;x=\left\{\frac{\pi}{6}\,,\,\frac{7\pi}{6}\right\}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\text{tg}x=\frac{\sqrt{3}}{3}\;\Rightarrow\;x=\left\{\frac{\pi}{6}\,,\,\frac{7\pi}{6}\right\}[/tex3]

[tex3]\cos 2x=0\;\Rightarrow\;2x=\frac{\pi}{2}+k\pi\;\therefore\;x=\left\{\frac{\pi}{4}\,,\,\frac{3\pi}{4}\,,\,\frac{5\pi}{4}\,,\,\frac{7\pi}{4}\right\}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos 2x=0\;\Rightarrow\;2x=\frac{\pi}{2}+k\pi\;\therefore\;x=\left\{\frac{\pi}{4}\,,\,\frac{3\pi}{4}\,,\,\frac{5\pi}{4}\,,\,\frac{7\pi}{4}\right\}[/tex3]

Nenhuma das raízes fere as condições iniciais do problema, logo a soma de todas as raízes é [tex3]\boxed{\frac{16\pi}{3}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{\frac{16\pi}{3}}[/tex3]

sera se tem como vc me mostrar quais as identidades trigonométricas usadas nessa resolução?

[jpedro09]

Okay editado.

Dividindo ambos os lados por [tex3]\text{sen}2x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\text{sen}2x[/tex3]

:

[tex3]\sqrt{3}\cdot\frac{1}{2\cos^2x}-\sqrt{3}+\text{cotg}2x=0\\
\therefore\;\sqrt{3}\cdot \frac{-\cos 2x}{2\cos^2x}+\frac{1-\text{tg}^2x}{2\text{tg}x}=0\\
\therefore\;\sqrt{3}\cdot\frac{\cos2x}{\cos^2x}=\frac{\cos2x}{\cos^2x\cdot\text{tg}x}\\
\therefore\;\text{tg}x=\frac{\sqrt{3}}{3}\text{ ou }\cos2x=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{3}\cdot\frac{1}{2\cos^2x}-\sqrt{3}+\text{cotg}2x=0\\
\therefore\;\sqrt{3}\cdot \frac{-\cos 2x}{2\cos^2x}+\frac{1-\text{tg}^2x}{2\text{tg}x}=0\\
\therefore\;\sqrt{3}\cdot\frac{\cos2x}{\cos^2x}=\frac{\cos2x}{\cos^2x\cdot\text{tg}x}\\
\therefore\;\text{tg}x=\frac{\sqrt{3}}{3}\text{ ou }\cos2x=0[/tex3]

[tex3]\text{tg}x=\frac{\sqrt{3}}{3}\;\Rightarrow\;x=\left\{\frac{\pi}{6}\,,\,\frac{7\pi}{6}\right\}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\text{tg}x=\frac{\sqrt{3}}{3}\;\Rightarrow\;x=\left\{\frac{\pi}{6}\,,\,\frac{7\pi}{6}\right\}[/tex3]

[tex3]\cos 2x=0\;\Rightarrow\;2x=\frac{\pi}{2}+k\pi\;\therefore\;x=\left\{\frac{\pi}{4}\,,\,\frac{3\pi}{4}\,,\,\frac{5\pi}{4}\,,\,\frac{7\pi}{4}\right\}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos 2x=0\;\Rightarrow\;2x=\frac{\pi}{2}+k\pi\;\therefore\;x=\left\{\frac{\pi}{4}\,,\,\frac{3\pi}{4}\,,\,\frac{5\pi}{4}\,,\,\frac{7\pi}{4}\right\}[/tex3]

Nenhuma das raízes fere as condições iniciais do problema, logo a soma de todas as raízes é [tex3]\boxed{\frac{16\pi}{3}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{\frac{16\pi}{3}}[/tex3]

sera se tem como vc me mostrar quais as identidades trigonométricas usadas nessa resolução?

Não sou o amigo que postou a solução, mas aqui está as identidades:

[tex3]sen2\theta=2sen\theta.cos\theta[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]sen2\theta=2sen\theta.cos\theta[/tex3]

[tex3]cos2\theta=cos^2\theta-sen^2\theta[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]cos2\theta=cos^2\theta-sen^2\theta[/tex3]

[tex3]cotg2\theta=\frac{1}{tg2\theta}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]cotg2\theta=\frac{1}{tg2\theta}[/tex3]

, só que [tex3]tg2\theta=\frac{2tg\theta}{1-tg^2\theta}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]tg2\theta=\frac{2tg\theta}{1-tg^2\theta}[/tex3]

, logo: [tex3]cotg2\theta=\frac{1-tg^2\theta}{2tg\theta}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]cotg2\theta=\frac{1-tg^2\theta}{2tg\theta}[/tex3]

[ASPIRADEDEU]

Não entende porque o cos2x aparece do nada na questão

[A13235378]

Não entende porque o cos2x aparece do nada na questão

[tex3]\sqrt{3}.\frac{1}{2cos^2x}-\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{3}.\frac{1}{2cos^2x}-\sqrt{3}[/tex3]

Ele colocou [tex3]\sqrt{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

em evidencia:

[tex3]\sqrt{3}(\frac{1}{2cos^2x}-1)=\frac{1-2cos^2x}{2cos^2x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{3}(\frac{1}{2cos^2x}-1)=\frac{1-2cos^2x}{2cos^2x}[/tex3]