Olimpíadas ⇒ Áreas (Cone-Sul 2003) Tópico resolvido

[papirador]

No triângulo ABC o ângulo C mede 120° e o lado AC é maior que o lado BC. Sabendo que a área do triângulo equilátero de lado AB é 31, a área do triângulo equilátero de lado AC-BC é 19, calcule a área do triângulo ABC.
A)8
B)4
C)12
D)6
E)7

Resposta

---

B

[petras]

papirador,

[tex3]\mathsf{a = BC, b = AC, c = AB\\
S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}.sen 120^o .ab = \frac{\sqrt3}{4}ab\\
\frac{c^2\sqrt3}{4} = 31 \implies c^2 = \frac{124}{\sqrt3}\\
c^2 = a^2+b^2-2ab,cos120^o \implies a^2+b^2+ab . \frac{124}{\sqrt3} (I)\\
\frac{(a-b)^2\sqrt3}{4} = 19 \implies a^2+b^2-2ab = \frac{76}{\sqrt3}(II)\\
(I)-(II): 3ab = \frac{48}{\sqrt3}\implies ab = \frac{16}{\sqrt3}(III)\\
\therefore S_{\triangle ABC} = \frac{\cancel{\sqrt3}}{4}.\frac{16}{\cancel{\sqrt3}} = \boxed{4}
}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{a = BC, b = AC, c = AB\\
S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}.sen 120^o .ab = \frac{\sqrt3}{4}ab\\
\frac{c^2\sqrt3}{4} = 31 \implies c^2 = \frac{124}{\sqrt3}\\
c^2 = a^2+b^2-2ab,cos120^o \implies a^2+b^2+ab . \frac{124}{\sqrt3} (I)\\
\frac{(a-b)^2\sqrt3}{4} = 19 \implies a^2+b^2-2ab = \frac{76}{\sqrt3}(II)\\
(I)-(II): 3ab = \frac{48}{\sqrt3}\implies ab = \frac{16}{\sqrt3}(III)\\
\therefore S_{\triangle ABC} = \frac{\cancel{\sqrt3}}{4}.\frac{16}{\cancel{\sqrt3}} = \boxed{4}
}[/tex3]

(Solução:JohnOmielan)