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Física III ⇒ (SOIF 2017) Circuito não-linear Tópico resolvido
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Mai 2024
03
11:15
(SOIF 2017) Circuito não-linear
Um circuito composto por dois diodos e dois capacitores mostrado na figura (a) abaixo é alimentado na entrada A por uma fonte do tipo dente de serra mostrada na figura (b). Assumindo que os capacitores estão descarregados inicialmente, e que os diodos funcionam como chaves ideais liga e desliga, de acordo com a direção da corrente, mostre a variação da voltagem nos pontos B e D durante os três ciclos completos da fonte dente de serra. Este tipo de circuito é conhecido como dobrador de tensão DC, onde na saída B, após alguns ciclos, obtém se uma voltagem contínua de [tex3]2V_0.[/tex3]
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Mai 2024
03
11:17
Re: (SOIF 2017) Circuito não-linear
Solução:
Como inicialmente a voltagem em A cresce, a corrente quer ir no sentido A -> D, carregando o capacitor no sentido + -. Como a voltagem em D é diferente de 0 nesse período, o diodo D2 deve estar aberto, e D1 consequentemente está fechado, fazendo com que [tex3]V_D=V_B[/tex3] e fazendo a mesma corrente passar pelos dois capacitores (a corrente escapa do circuito pela terra). Daí, como [tex3]V_A(t)=2V_C(t),[/tex3] sendo [tex3]V_C[/tex3] a voltagem em cada um dos dois capacitores, devemos ter [tex3]V_B(t)=V_D(t)=\frac{V_A(t)}{2}[/tex3] nesse período.
Quando [tex3]V_A[/tex3] começa a diminuir, momento em que [tex3]V_B=V_D=\frac{V_0}{2},[/tex3] a corrente vai querer ir de D para A. Além disso, como [tex3]V_D[/tex3] ainda é maior do que 0, o diodo D2 continua aberto, mas então como o ponto D quer extrair corrente, o diodo D1 se abre. A conclusão é que, nesse período, não passa corrente em nenhum trecho do circuito. Ou seja, [tex3]V_B[/tex3] permanece constante e igual a [tex3]\frac{V_0}{2},[/tex3] e [tex3]V_D[/tex3] vai se comportar de modo a manter a carga anterior do capacitor, ou seja, manter uma ddp de [tex3]\frac{V_0}{2}[/tex3] entre A e D. Isso se segue até a tensão em D chegar a zero, momento em que o diodo D2 se fecha e vincula D a permanecer igual a zero, e começa a passar corrente no sentido G -> D -> A.
Quando [tex3]V_A[/tex3] volta a aumentar, começa a querer ir corrente no sentido A -> D, então o diodo D2 se abre (e o D1 claramente continua aberto, pois caso contrário iria querer ir corrente no sentido de B para D). Como novamente os dois diodos estão abertos, não tem como passar corrente no circuito, então a ddp no capacitor continua a ser a mesma do final do período anterior (de modo à diferença [tex3]V_D-V_A[/tex3] permanecer igual a [tex3]-V_0[/tex3] ). Mas aí chega o momento em que [tex3]V_D>\frac{V_0}{2},[/tex3] e então quer ir corrente no sentido de D para B e o diodo D1 se fecha e volta a passar uma mesma corrente pelo circuito no sentido A -> D -> B -> G. O momento em que isso começa é aquele em que [tex3]V_A=-\frac{V_0}{2},[/tex3] e a partir de então temos [tex3]V_1=V_B=V_D,[/tex3] sendo [tex3]V_1[/tex3] a tensão no capacitor BG, e [tex3]V_1+V_2=V_A.[/tex3] Conseguimos continuar com o gráfico das voltagens em B e D usando o fato de que [tex3]\frac{dV_1}{dt}=\frac{dV_2}{dt}[/tex3] (porque a mesma corrente está passando pelos dois capacitores) e [tex3]\frac{dV_1}{dt}+\frac{dV_2}{dt}=\frac{dV_A}{dt}.[/tex3] Isso continua até o momento em que [tex3]V_A[/tex3] volta a diminuir, quando [tex3]V_B=V_D=\frac{5V_0}{4}.[/tex3]
A partir desse momento, volta a querer passar corrente de D para A, o diodo D2 continua aberto e D1 abre, fazendo com que [tex3]V_B=V_1[/tex3] permaneca constante e que não passe corrente em nenhum lugar do circuito, vinculando a diferença [tex3]V_A-V_D[/tex3] permanecer igual ao que era no último instante do período anterior, e a história se repete indefinidamente. O gráfico das tensões em função do tempo para três ciclos completos é mostrado abaixo:
Obs: Esse problema foi extraído do livro "University of Chicago Graduate Problems in Physics".
Como inicialmente a voltagem em A cresce, a corrente quer ir no sentido A -> D, carregando o capacitor no sentido + -. Como a voltagem em D é diferente de 0 nesse período, o diodo D2 deve estar aberto, e D1 consequentemente está fechado, fazendo com que [tex3]V_D=V_B[/tex3] e fazendo a mesma corrente passar pelos dois capacitores (a corrente escapa do circuito pela terra). Daí, como [tex3]V_A(t)=2V_C(t),[/tex3] sendo [tex3]V_C[/tex3] a voltagem em cada um dos dois capacitores, devemos ter [tex3]V_B(t)=V_D(t)=\frac{V_A(t)}{2}[/tex3] nesse período.
Quando [tex3]V_A[/tex3] começa a diminuir, momento em que [tex3]V_B=V_D=\frac{V_0}{2},[/tex3] a corrente vai querer ir de D para A. Além disso, como [tex3]V_D[/tex3] ainda é maior do que 0, o diodo D2 continua aberto, mas então como o ponto D quer extrair corrente, o diodo D1 se abre. A conclusão é que, nesse período, não passa corrente em nenhum trecho do circuito. Ou seja, [tex3]V_B[/tex3] permanece constante e igual a [tex3]\frac{V_0}{2},[/tex3] e [tex3]V_D[/tex3] vai se comportar de modo a manter a carga anterior do capacitor, ou seja, manter uma ddp de [tex3]\frac{V_0}{2}[/tex3] entre A e D. Isso se segue até a tensão em D chegar a zero, momento em que o diodo D2 se fecha e vincula D a permanecer igual a zero, e começa a passar corrente no sentido G -> D -> A.
Quando [tex3]V_A[/tex3] volta a aumentar, começa a querer ir corrente no sentido A -> D, então o diodo D2 se abre (e o D1 claramente continua aberto, pois caso contrário iria querer ir corrente no sentido de B para D). Como novamente os dois diodos estão abertos, não tem como passar corrente no circuito, então a ddp no capacitor continua a ser a mesma do final do período anterior (de modo à diferença [tex3]V_D-V_A[/tex3] permanecer igual a [tex3]-V_0[/tex3] ). Mas aí chega o momento em que [tex3]V_D>\frac{V_0}{2},[/tex3] e então quer ir corrente no sentido de D para B e o diodo D1 se fecha e volta a passar uma mesma corrente pelo circuito no sentido A -> D -> B -> G. O momento em que isso começa é aquele em que [tex3]V_A=-\frac{V_0}{2},[/tex3] e a partir de então temos [tex3]V_1=V_B=V_D,[/tex3] sendo [tex3]V_1[/tex3] a tensão no capacitor BG, e [tex3]V_1+V_2=V_A.[/tex3] Conseguimos continuar com o gráfico das voltagens em B e D usando o fato de que [tex3]\frac{dV_1}{dt}=\frac{dV_2}{dt}[/tex3] (porque a mesma corrente está passando pelos dois capacitores) e [tex3]\frac{dV_1}{dt}+\frac{dV_2}{dt}=\frac{dV_A}{dt}.[/tex3] Isso continua até o momento em que [tex3]V_A[/tex3] volta a diminuir, quando [tex3]V_B=V_D=\frac{5V_0}{4}.[/tex3]
A partir desse momento, volta a querer passar corrente de D para A, o diodo D2 continua aberto e D1 abre, fazendo com que [tex3]V_B=V_1[/tex3] permaneca constante e que não passe corrente em nenhum lugar do circuito, vinculando a diferença [tex3]V_A-V_D[/tex3] permanecer igual ao que era no último instante do período anterior, e a história se repete indefinidamente. O gráfico das tensões em função do tempo para três ciclos completos é mostrado abaixo:
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Obs: Esse problema foi extraído do livro "University of Chicago Graduate Problems in Physics".
Editado pela última vez por παθμ em 03 Mai 2024, 18:23, em um total de 1 vez.
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