IME / ITA ⇒ Limites / Geometria Tópico resolvido

[ASPIRANTE23]

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Resposta

---

B

Seja[tex3] 𝐿=lim x--0 (a-va^2-x^2 - x^2/4/x^4)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3] 𝐿=lim x--0 (a-va^2-x^2 - x^2/4/x^4)[/tex3]

, com 𝑎 > 0. Sabe-se que um poliedro convexo tem 1/√𝐿 faces pentagonais e 𝑎² faces hexagonais. O número de diagonais desse poliedro é:

[petras]

ASPIRANTE23,

Mesma solicitação da outra mensagem

[παθμ]

ASPIRANTE23,

Vamos usar a expansão binomial: [tex3](1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)x^2}{2}+O(x^3).[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)x^2}{2}+O(x^3).[/tex3]

Daí:

[tex3]\sqrt{a^2-x^2}=a\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}=a\left(1-\frac{x^2}{2a^2}-\frac{x^4}{8a^4}+O(x^6)\right).[/tex3]

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[tex3]\sqrt{a^2-x^2}=a\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}=a\left(1-\frac{x^2}{2a^2}-\frac{x^4}{8a^4}+O(x^6)\right).[/tex3]

Substituindo isso, ficamos com [tex3]L=\frac{1}{x^2}\left(\frac{1}{2a}-\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{8a^3}+O(x^2).[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]L=\frac{1}{x^2}\left(\frac{1}{2a}-\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{8a^3}+O(x^2).[/tex3]

Como x tende a 0, se o coeficiente de [tex3]x^{-2}[/tex3]

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[tex3]x^{-2}[/tex3]

for diferente de zero o limite diverge. Portanto, para que [tex3]L[/tex3]

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[tex3]L[/tex3]

seja finito, devemos ter [tex3]\frac{1}{2a}=\frac{1}{4} \Longrightarrow a=2.[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{2a}=\frac{1}{4} \Longrightarrow a=2.[/tex3]

Temos então [tex3]L=\frac{1}{8a^3}=\frac{1}{64}.[/tex3]

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[tex3]L=\frac{1}{8a^3}=\frac{1}{64}.[/tex3]

[tex3]F_5=\frac{1}{\sqrt{L}}=8, \; \; F_6=a^2=4.[/tex3]

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[tex3]F_5=\frac{1}{\sqrt{L}}=8, \; \; F_6=a^2=4.[/tex3]

O número de arestas é [tex3]A=\frac{5F_5+6F_6}{2}=32.[/tex3]

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[tex3]A=\frac{5F_5+6F_6}{2}=32.[/tex3]

[tex3]A+2=V+F \Longrightarrow V=22.[/tex3]

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[tex3]A+2=V+F \Longrightarrow V=22.[/tex3]

O número total de segmentos que podem ser traçados entre quaisquer dois pontos é igual ao número total de pares de pontos, ou seja, [tex3]\binom{V}{2}=\binom{22}{2}.[/tex3]

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[tex3]\binom{V}{2}=\binom{22}{2}.[/tex3]

Desse número, devemos subtrair o número de arestas do poliedro, que obviamente não são diagonais. Fora isso, devemos subtrair também o número total de diagonais das faces, que aparentemente não contam como "diagonais do poliedro".

Um polígono de [tex3]n[/tex3]

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[tex3]n[/tex3]

lados tem [tex3]\frac{n(n-3)}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{n(n-3)}{2}[/tex3]

diagonais, então um pentágono tem 5 diagonais e um hexágono tem 9.

Daí, o número total de diagonais das faces desse poliedro é [tex3]8 \cdot 5+4 \cdot 9=76.[/tex3]

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[tex3]8 \cdot 5+4 \cdot 9=76.[/tex3]

Então o número de diagonais do poliedro é [tex3]\binom{22}{2}-32-76=\frac{22!}{20! \cdot 2}-108=11 \cdot 21-108=\boxed{123}[/tex3]

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[tex3]\binom{22}{2}-32-76=\frac{22!}{20! \cdot 2}-108=11 \cdot 21-108=\boxed{123}[/tex3]

Alternativa B