Num núcleo no estado fundamental os seus componentes, prótons e nêutrons, apresentam um movimento mínimo devido ao fato de estarem ligados ao núcleo, seguindo o Princípio da Incerteza. Por simplicidade, considere o potencial nuclear infinito.
1. No referencial do núcleo, determine qual a incerteza no momento do nucleon no estado de mínima energia dado que seu raio é [tex3]R=R_0A^{1/3},[/tex3]
onde [tex3]R_0=1,15 \; \text{fm}[/tex3]
é o raio do nucleon e [tex3]A[/tex3]
é o número de massa do núcleo.
2. Agora considere que no referencial do laboratório o núcleo viaje com uma velocidade [tex3]v[/tex3]
próxima à velocidade da luz, [tex3]c.[/tex3]
Determine a incerteza no momento do nucleon de mínima energia nesse referencial.
Física III ⇒ (SOIF 2016) Princípio da incerteza e relatividade Tópico resolvido
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παθμ
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Abr 2024
23
23:20
Re: (SOIF 2016) Princípio da incerteza e relatividade
Solução:
1. O princípio da incerteza para cada eixo nos diz (por exemplo, no eixo x): [tex3]\Delta p_x \Delta x \geq \frac{\hbar}{2}.[/tex3] No estado de mínima energia, esse produto é o menor possível, então podemos fazer estimativas usando a igualdade.
Estimando [tex3]\Delta x=\Delta y = \Delta z \approx R,[/tex3] temos [tex3]\Delta p_x = \Delta p_y = \Delta p_z = \frac{\hbar}{2R}.[/tex3]
Note que as "incertezas" às quais nos referimos aqui são desvios-padrão. Como [tex3]\langle p _i\rangle=0[/tex3] pela simetria, temos [tex3]\Delta p_i^2=\langle p_i^2 \rangle -\langle p_i \rangle^2= \langle p_i^2 \rangle. [/tex3]
Daí, como [tex3]p^2=p_x^2+p_y^2+p_z^2[/tex3] é fácil concluir que [tex3]\langle p^2 \rangle =3\left(\frac{\hbar}{2R}\right)^2.[/tex3] O problema é que a média de [tex3]p=\sqrt{p_x^2+p_y^2+p_z^2}[/tex3] não pode ser calculada usando somente o princípio da incerteza (seria necessário aplicar métodos da mecânica quântica, o que já foge da proposta da questão). Outra saída seria estimar a incerteza de [tex3]p[/tex3] usando a fórmula da propagação de incertezas, mas isso resultaria em [tex3]\Delta p=0,[/tex3] pois [tex3]\langle p_i \rangle=0,[/tex3] o que não convém. Então deixo minha resposta como simplesmente [tex3]\boxed{\Delta p \approx \frac{\hbar}{R}}[/tex3] (lembre-se que questões sobre o princípio da incerteza só estão interessadas em estimativas; não é necessário acertar o fator numérico exato).
2. Sendo [tex3]u[/tex3] a velocidade do nucleon no referencial do laboratório e [tex3]v_i[/tex3] as velocidades em cada eixo no referencial do núcleo, temos (sendo x a direção do movimento do núcleo):
[tex3]u_x=\frac{v_x+v}{1+\frac{vv_x}{c^2}}, \; \; u_y=\frac{v_y}{\gamma\left(1+\frac{vv_x}{c^2}\right)},[/tex3] e a fórmula para [tex3]u_z[/tex3] é análoga à para [tex3]u_y.[/tex3]
Agora sim, não há problemas em estimar as incertezas usando a fórmula da propagação de erro.
[tex3]\frac{\partial u_x}{\partial v_x}=\frac{c^2(c^2-v^2)}{(c^2+v_xv)^2}=1-\frac{v^2}{c^2}.[/tex3]
[tex3]\Delta u_x=\frac{\partial u_x}{\partial v_x} \Delta v_x=\frac{\hbar}{2mR} \left(1-\frac{v^2}{c^2}\right).[/tex3]
[tex3]\frac{\partial u_y}{\partial v_x}=-\frac{vv_y}{\gamma c^2\left(1+\frac{vv_x}{c^2}\right)^2}=0.[/tex3]
[tex3]\frac{\partial u_y}{\partial v_y}=\frac{1}{\gamma\left(1+\frac{vv_x}{c^2}\right)}=\frac{1}{\gamma}.[/tex3]
[tex3]\Delta u_y= \frac{\partial u_y}{\partial v_y}\Delta v_y=\frac{\hbar}{2mR \gamma}=\Delta u_z.[/tex3]
[tex3]p=\gamma m u=\gamma m \sqrt{u_x^2+u_y^2+u_z^2}, \; \; \frac{\partial p}{\partial u_x}=\frac{\gamma m u_x}{\sqrt{u_x^2+u_y^2+u_z^2}}= \gamma m.[/tex3]
Note que [tex3]\frac{\partial p}{\partial u_y}= \frac{\partial p}{\partial u_z}=0[/tex3] porque [tex3]\langle u_y \rangle = \langle u_z \rangle = 0.[/tex3]
Creio que seja prudente desprezar a variância de [tex3]\gamma[/tex3] na conta.
[tex3]\Delta p =\frac{\partial p}{\partial u_x}\Delta u_x=\frac{\gamma \hbar}{2R}\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)=\boxed{\frac{\hbar}{2R\gamma}}[/tex3]
1. O princípio da incerteza para cada eixo nos diz (por exemplo, no eixo x): [tex3]\Delta p_x \Delta x \geq \frac{\hbar}{2}.[/tex3] No estado de mínima energia, esse produto é o menor possível, então podemos fazer estimativas usando a igualdade.
Estimando [tex3]\Delta x=\Delta y = \Delta z \approx R,[/tex3] temos [tex3]\Delta p_x = \Delta p_y = \Delta p_z = \frac{\hbar}{2R}.[/tex3]
Note que as "incertezas" às quais nos referimos aqui são desvios-padrão. Como [tex3]\langle p _i\rangle=0[/tex3] pela simetria, temos [tex3]\Delta p_i^2=\langle p_i^2 \rangle -\langle p_i \rangle^2= \langle p_i^2 \rangle. [/tex3]
Daí, como [tex3]p^2=p_x^2+p_y^2+p_z^2[/tex3] é fácil concluir que [tex3]\langle p^2 \rangle =3\left(\frac{\hbar}{2R}\right)^2.[/tex3] O problema é que a média de [tex3]p=\sqrt{p_x^2+p_y^2+p_z^2}[/tex3] não pode ser calculada usando somente o princípio da incerteza (seria necessário aplicar métodos da mecânica quântica, o que já foge da proposta da questão). Outra saída seria estimar a incerteza de [tex3]p[/tex3] usando a fórmula da propagação de incertezas, mas isso resultaria em [tex3]\Delta p=0,[/tex3] pois [tex3]\langle p_i \rangle=0,[/tex3] o que não convém. Então deixo minha resposta como simplesmente [tex3]\boxed{\Delta p \approx \frac{\hbar}{R}}[/tex3] (lembre-se que questões sobre o princípio da incerteza só estão interessadas em estimativas; não é necessário acertar o fator numérico exato).
2. Sendo [tex3]u[/tex3] a velocidade do nucleon no referencial do laboratório e [tex3]v_i[/tex3] as velocidades em cada eixo no referencial do núcleo, temos (sendo x a direção do movimento do núcleo):
[tex3]u_x=\frac{v_x+v}{1+\frac{vv_x}{c^2}}, \; \; u_y=\frac{v_y}{\gamma\left(1+\frac{vv_x}{c^2}\right)},[/tex3] e a fórmula para [tex3]u_z[/tex3] é análoga à para [tex3]u_y.[/tex3]
Agora sim, não há problemas em estimar as incertezas usando a fórmula da propagação de erro.
[tex3]\frac{\partial u_x}{\partial v_x}=\frac{c^2(c^2-v^2)}{(c^2+v_xv)^2}=1-\frac{v^2}{c^2}.[/tex3]
[tex3]\Delta u_x=\frac{\partial u_x}{\partial v_x} \Delta v_x=\frac{\hbar}{2mR} \left(1-\frac{v^2}{c^2}\right).[/tex3]
[tex3]\frac{\partial u_y}{\partial v_x}=-\frac{vv_y}{\gamma c^2\left(1+\frac{vv_x}{c^2}\right)^2}=0.[/tex3]
[tex3]\frac{\partial u_y}{\partial v_y}=\frac{1}{\gamma\left(1+\frac{vv_x}{c^2}\right)}=\frac{1}{\gamma}.[/tex3]
[tex3]\Delta u_y= \frac{\partial u_y}{\partial v_y}\Delta v_y=\frac{\hbar}{2mR \gamma}=\Delta u_z.[/tex3]
[tex3]p=\gamma m u=\gamma m \sqrt{u_x^2+u_y^2+u_z^2}, \; \; \frac{\partial p}{\partial u_x}=\frac{\gamma m u_x}{\sqrt{u_x^2+u_y^2+u_z^2}}= \gamma m.[/tex3]
Note que [tex3]\frac{\partial p}{\partial u_y}= \frac{\partial p}{\partial u_z}=0[/tex3] porque [tex3]\langle u_y \rangle = \langle u_z \rangle = 0.[/tex3]
Creio que seja prudente desprezar a variância de [tex3]\gamma[/tex3] na conta.
[tex3]\Delta p =\frac{\partial p}{\partial u_x}\Delta u_x=\frac{\gamma \hbar}{2R}\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)=\boxed{\frac{\hbar}{2R\gamma}}[/tex3]
Editado pela última vez por παθμ em 23 Abr 2024, 23:22, em um total de 1 vez.
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