Concursos Públicos ⇒ Análise combinatória

[Azevedo4k]

Qual a quantidade de números de oito algarismos que podem ser formados, em que o produto dos algarismos dê 120?

[petras]

Azevedo4k,

[tex3]
120=2^3\cdot 3\cdot 5\\
2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\cdot 1\cdot 1\cdot 1
\implies P^{3,3}8! = 1120\\
1\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot 2\cdot 4\cdot 3\cdot 5 \implies P^48!=8⋅7⋅6⋅5=1680\\
1\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot 8\cdot 3\cdot 5 \implies P^58!=8⋅7⋅6=336\\
1\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot 2\cdot 2\cdot 6\cdot 5 \implies P^{2,4}8!=4⋅7⋅6⋅5=840\\
1\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot 4\cdot 6\cdot 5 \implies P^58!=8⋅7⋅6=336\\
\therefore N=1120+1680+336+840+336=\boxed{4312}[/tex3]

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[tex3]
120=2^3\cdot 3\cdot 5\\
2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\cdot 1\cdot 1\cdot 1
\implies P^{3,3}8! = 1120\\
1\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot 2\cdot 4\cdot 3\cdot 5 \implies P^48!=8⋅7⋅6⋅5=1680\\
1\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot 8\cdot 3\cdot 5 \implies P^58!=8⋅7⋅6=336\\
1\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot 2\cdot 2\cdot 6\cdot 5 \implies P^{2,4}8!=4⋅7⋅6⋅5=840\\
1\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot 4\cdot 6\cdot 5 \implies P^58!=8⋅7⋅6=336\\
\therefore N=1120+1680+336+840+336=\boxed{4312}[/tex3]