Um corpo de massa [tex3]m[/tex3]
é presa a uma corda elástica de comprimento [tex3]L,[/tex3]
seção de área [tex3]A[/tex3]
e tensão de tração [tex3]T.[/tex3]
A massa é solta de um ponto próximo ao ponto de fixação da corda.
Qual deve ser o menor valor do módulo de Young [tex3]Y[/tex3]
em termos de [tex3]A,T,m[/tex3]
e [tex3]g,[/tex3]
para que a corda não se rompa? Considere a aceleração da gravidade [tex3]g.[/tex3]
Lei de Young: [tex3]\frac{\Delta F}{A}=Y\left(\frac{\Delta L}{L}\right)[/tex3]
onde [tex3]L[/tex3]
é o comprimento da corda natural e [tex3]\Delta L[/tex3]
o comprimento esticado devido a aplicação de força [tex3]\Delta F.[/tex3]
Física I ⇒ (SOIF 2016) Dinâmica Tópico resolvido
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Abr 2024
22
21:55
Re: (SOIF 2016) Dinâmica
Solução:
Com "tensão de tração" o enunciado quis dizer tensão de ruptura (lembre-se que isso é força por área, não força).
Considere que, no momento da soltura, a massa tem energia total zero, e que ela para a uma distância [tex3]h[/tex3] abaixo do teto. Ou seja, ela tem uma energia potencial gravitacional [tex3]U_g=-mgh.[/tex3]
A força que o elástico exerce em função da sua elongação [tex3]x[/tex3] é [tex3]F=\frac{YA}{L}x.[/tex3] Ou seja, é exatamente como uma mola de comprimento natural [tex3]L[/tex3] e constante elástica [tex3]k=\frac{YA}{L}.[/tex3]
A energia potencial elástica é, então: [tex3]U_{el}=\frac{k(h-L)^2}{2}.[/tex3]
Pela conservação da energia: [tex3]\frac{YA}{2L}(h-L)^2-mgh=0.[/tex3]
Para a situação crítica, ou seja, na qual a corda fica na iminência de romper, devemos ter [tex3]T=\frac{Y}{L}(h-L) \Longrightarrow h-L=\frac{TL}{Y}, \; \; h=L\left(1+\frac{T}{Y}\right).[/tex3] Substituindo isso:
[tex3]\frac{AT^2L^2}{Y}-2mgL^2\left(1+\frac{T}{Y}\right)=0 \Longrightarrow \boxed{Y=\frac{AT^2}{2mg}-T}[/tex3]
Obs: Essa questão foi extraída do livro "University of Chicago Graduate Problems in Physics".
Com "tensão de tração" o enunciado quis dizer tensão de ruptura (lembre-se que isso é força por área, não força).
Considere que, no momento da soltura, a massa tem energia total zero, e que ela para a uma distância [tex3]h[/tex3] abaixo do teto. Ou seja, ela tem uma energia potencial gravitacional [tex3]U_g=-mgh.[/tex3]
A força que o elástico exerce em função da sua elongação [tex3]x[/tex3] é [tex3]F=\frac{YA}{L}x.[/tex3] Ou seja, é exatamente como uma mola de comprimento natural [tex3]L[/tex3] e constante elástica [tex3]k=\frac{YA}{L}.[/tex3]
A energia potencial elástica é, então: [tex3]U_{el}=\frac{k(h-L)^2}{2}.[/tex3]
Pela conservação da energia: [tex3]\frac{YA}{2L}(h-L)^2-mgh=0.[/tex3]
Para a situação crítica, ou seja, na qual a corda fica na iminência de romper, devemos ter [tex3]T=\frac{Y}{L}(h-L) \Longrightarrow h-L=\frac{TL}{Y}, \; \; h=L\left(1+\frac{T}{Y}\right).[/tex3] Substituindo isso:
[tex3]\frac{AT^2L^2}{Y}-2mgL^2\left(1+\frac{T}{Y}\right)=0 \Longrightarrow \boxed{Y=\frac{AT^2}{2mg}-T}[/tex3]
Obs: Essa questão foi extraída do livro "University of Chicago Graduate Problems in Physics".
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