Ensino Médio ⇒ 14 volume de cone Tópico resolvido

[Analisesousp]

Considere um cone circular reto, cujo raio da base mede
R, e cuja geratriz mede g. Considere uma formiga, inicialmente sobre um ponto P situado na circunferência da base do cone, que se desloca dando uma volta inteira sobre a superfície lateral do cone até atingir o ponto P novamente, conforme mostra a figura a seguir.

Screenshot_20240421-225228-272.png (144.26 KiB) Exibido 104 vezes

Se o menor caminho possível a ser percorrido pela formiga mede g, então o volume do cone é igual a:

Gabarito: [tex3]\frac{\pi R^{3}\sqrt{35}}{3}[/tex3]

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[tex3]\frac{\pi R^{3}\sqrt{35}}{3}[/tex3]

Selecon 2023

[παθμ]

Analisesousp, planifique a superfície do cone fazendo o corte por uma geratriz que passa pelo ponto P. Assim, há duas instâncias do ponto P na planificação, chame-as de P e P':

b7117a1e-72c8-4630-b47b-25862cf82597.jpg (9.19 KiB) Exibido 94 vezes

Para a formiga ir de P a P' percorrendo o menor caminho possível, ela deve percorrer uma linha reta. Como esse segmento mede [tex3]g,[/tex3]

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[tex3]g,[/tex3]

veja que obtemos um triângulo equilátero, daí que o ângulo acima mede [tex3]60 \degree.[/tex3]

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[tex3]60 \degree.[/tex3]

[tex3]\frac{60}{360} \cdot 2\pi g=2 \pi R \Longrightarrow g=6R.[/tex3]

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[tex3]\frac{60}{360} \cdot 2\pi g=2 \pi R \Longrightarrow g=6R.[/tex3]

Pitágoras para achar a altura do cone: [tex3]h^2+R^2=g^2 \Longrightarrow h=\sqrt{35}R.[/tex3]

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[tex3]h^2+R^2=g^2 \Longrightarrow h=\sqrt{35}R.[/tex3]

[tex3]V=\frac{\pi R^2 h}{3}=\boxed{\frac{\pi R^3 \sqrt{35}}{3}}[/tex3]

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[tex3]V=\frac{\pi R^2 h}{3}=\boxed{\frac{\pi R^3 \sqrt{35}}{3}}[/tex3]

[Analisesousp]

παθμ , por gentileza, qual a correlação usada na regra de 3? Não peguei. Obrigada

[παθμ]

Analisesousp,

O arco de [tex3]60 \degree[/tex3]

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[tex3]60 \degree[/tex3]

de raio [tex3]g[/tex3]

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[tex3]g[/tex3]

tem comprimento [tex3]2\pi R.[/tex3]

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[tex3]2\pi R.[/tex3]

Um arco de 60 graus é uma fração [tex3]\frac{60}{360}=\frac{1}{6}[/tex3]

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[tex3]\frac{60}{360}=\frac{1}{6}[/tex3]

de uma circunferência completa, e o comprimento de uma circunferência completa seria [tex3]2\pi g.[/tex3]

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[tex3]2\pi g.[/tex3]

Então [tex3]\frac{2 \pi g}{6}=2 \pi R \Longrightarrow g=6R.[/tex3]

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[tex3]\frac{2 \pi g}{6}=2 \pi R \Longrightarrow g=6R.[/tex3]