Pré-Vestibular ⇒ (Uesb 2010.2)- Polinômios Tópico resolvido

[dudaox]

Considerando-se que o polinômio P(x) = x³ + (m + 4)x² + x tem uma única raiz real, pode-se afirmar que m pertence ao intervalo.
A) ]- 8, - 6[
B) ]- 6, - 2[
C) ]- 2, - 1[
D) ]2, 6[
E) ]6, 8[

Resposta

---

B

[GiovanaMSP]

Para determinar as raízes do polinômio, vamos fazer [tex3]P(x)=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]P(x)=0[/tex3]

. Assim:

[tex3]x^3 +(m+4)x^2+x=0\to x\left[x^2+(m+4)x+1\right]=0[/tex3]

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[tex3]x^3 +(m+4)x^2+x=0\to x\left[x^2+(m+4)x+1\right]=0[/tex3]

Do produto nulo, portanto, concluímos que [tex3]x=0[/tex3]

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[tex3]x=0[/tex3]

ou [tex3]x^2+(m+4)x+1=0[/tex3]

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[tex3]x^2+(m+4)x+1=0[/tex3]

Como o enunciado pede que [tex3]P(x)[/tex3]

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[tex3]P(x)[/tex3]

tenha apenas uma raiz real, isto é, a raiz que deve ser real deve ser [tex3]x=0[/tex3]

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[tex3]x=0[/tex3]

, pois se [tex3]x^2+(m+4)x+1=0[/tex3]

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[tex3]x^2+(m+4)x+1=0[/tex3]

possuir raiz real, então teremos 3 raízes reais.

A condição para que [tex3]f(x)=x^2+(m+4)x+1=0[/tex3]

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[tex3]f(x)=x^2+(m+4)x+1=0[/tex3]

tenha raízes complexas é que o discriminante de [tex3]f(x)[/tex3]

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[tex3]f(x)[/tex3]

seja menor que zero, isto é, [tex3]\Delta <0[/tex3]

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[tex3]\Delta <0[/tex3]

. Para [tex3]\Delta <0[/tex3]

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[tex3]\Delta <0[/tex3]

concluímos que:

[tex3]\Delta =b^2-4ac\ \therefore\ (m+4)^2-(4)\cdot (1)\cdot (1)<0\ \therefore\ -6<m<-2\ \leftrightarrow \ \boxed{\mathrm{Resposta:\ }]-6,-2\ [\ \therefore\ \mathrm{Alternativa\ B}}[/tex3]

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[tex3]\Delta =b^2-4ac\ \therefore\ (m+4)^2-(4)\cdot (1)\cdot (1)<0\ \therefore\ -6<m<-2\ \leftrightarrow \ \boxed{\mathrm{Resposta:\ }]-6,-2\ [\ \therefore\ \mathrm{Alternativa\ B}}[/tex3]

Se houver dúvidas, avise.

[GiovanaMSP]

Apenas para facilitar o entendimento.

Ilustração gráfica: Clique aqui.

Montei um applet (gráfico interativo) para que você possa entender o comportamento da função [tex3]P(x)[/tex3]

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[tex3]P(x)[/tex3]

conforme o parâmetro "m" varia. No gráfico, a partir do controle deslizante, faça o parâmetro "m" variar. Você verá que a curva descrita por [tex3]P(x)[/tex3]

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[tex3]P(x)[/tex3]

assumirá diversos comportamentos.

No gráfico eu indiquei os pontos A, B e C, que são as raízes reais de [tex3]P(x)[/tex3]

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[tex3]P(x)[/tex3]

para todo [tex3]m\ \notin \ ]-6,-2\ [\ .[/tex3]

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[tex3]m\ \notin \ ]-6,-2\ [\ .[/tex3]

Quando m está entre - 6 e - 2 os pontos B e C irão "sumir". Eles "somem", pois as raízes B e C são complexas quando [tex3]m\ \in \ ]-6,-2\ [\ .[/tex3]

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[tex3]m\ \in \ ]-6,-2\ [\ .[/tex3]

[dudaox]

Excelente resolução, muitíssimo obrigada!