IME/ITA ⇒ Ondas

[ASPIRANTE23]

Considere um objeto que é tanto um emissor quanto um receptor de frequências sonoras. Ele emite uma frequência de repouso de 100 Hz. Esse objeto começa a cair de uma altura de 600 m as ondas sonoras refletem no chão e chegam de volta ao objeto. Calcule a frequência percebida pelo receptor em função do tempo t (contato a partir do que o objeto começa a cair). Vonda sonora = 300 m/s

Resposta

---

DESCREVA

[LeoJaques]

Considere uma onda emitida em em [tex3]t = t_0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]t = t_0[/tex3]

.

A distância percorrida pelo objeto até [tex3]t_0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]t_0[/tex3]

é [tex3]\dfrac{gt_0^2}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\dfrac{gt_0^2}{2}[/tex3]

, a onda ao ser emitida vai percorrer um caminho de: [tex3] \Delta S = 600 - \dfrac{gt_0^2}{2} + (600 - \dfrac{g(t_0 + \Delta T)^2}{2}) = 1200 - \dfrac{gt_0^2}{2} - \dfrac{g(t_0 + \Delta T)^2}{2} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3] \Delta S = 600 - \dfrac{gt_0^2}{2} + (600 - \dfrac{g(t_0 + \Delta T)^2}{2}) = 1200 - \dfrac{gt_0^2}{2} - \dfrac{g(t_0 + \Delta T)^2}{2} [/tex3]

. Sendo [tex3]\Delta T[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Delta T[/tex3]

o tempo que a onda demorou para ir e voltar até o objeto (Note que o objeto também se move nesse perído)

logo,
[tex3] 300 \Delta T = 1200 - \dfrac{gt_0^2}{2} - \dfrac{g(t_0 + \Delta T)^2}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3] 300 \Delta T = 1200 - \dfrac{gt_0^2}{2} - \dfrac{g(t_0 + \Delta T)^2}{2}[/tex3]

fazendo [tex3]t_0 + \Delta T = t[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]t_0 + \Delta T = t[/tex3]

[tex3] 300(t - t_0) = 1200 - \dfrac{gt_0^2}{2} - \dfrac{g(t)^2}{2} \Rightarrow \dfrac{gt_0^2}{2} - 300t_0 + 300t + \dfrac{gt^2}{2} - 1200 \Rightarrow t_0 = \dfrac{300 + \sqrt{300^2 - 2g( 300t + \dfrac{gt^2}{2} - 1200)}}{g}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3] 300(t - t_0) = 1200 - \dfrac{gt_0^2}{2} - \dfrac{g(t)^2}{2} \Rightarrow \dfrac{gt_0^2}{2} - 300t_0 + 300t + \dfrac{gt^2}{2} - 1200 \Rightarrow t_0 = \dfrac{300 + \sqrt{300^2 - 2g( 300t + \dfrac{gt^2}{2} - 1200)}}{g}[/tex3]

No final o objeto tinha uma velocidade de [tex3]v_f = gt[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]v_f = gt[/tex3]

A frequência percebida pelo fundo do recipiente (o fundo do objeto atua como observador e a fonte como observador) [tex3]f_1 = f_0\dfrac{V_s}{V_s - gt_0} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f_1 = f_0\dfrac{V_s}{V_s - gt_0} [/tex3]

A frequência percebida pelo objeto na reflexão (o fundo do objeto atua como fonte e objeto como observador) [tex3]f_2 = f_1\dfrac{V_s + gt}{V_s} = f_0\dfrac{V_s}{V_s - gt_0}\dfrac{V_s + gt}{V_s} = 100\dfrac{300 + gt}{100 - gt_0} =100\dfrac{300 + gt}{100 - g(\dfrac{300 + \sqrt{300^2 - 2g( 300t + \dfrac{gt^2}{2} - 1200)}}{g})} =
\\
100\dfrac{300 + gt}{-200 + \sqrt{300^2 - 2g( 300t + \dfrac{gt^2}{2} - 1200)}} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f_2 = f_1\dfrac{V_s + gt}{V_s} = f_0\dfrac{V_s}{V_s - gt_0}\dfrac{V_s + gt}{V_s} = 100\dfrac{300 + gt}{100 - gt_0} =100\dfrac{300 + gt}{100 - g(\dfrac{300 + \sqrt{300^2 - 2g( 300t + \dfrac{gt^2}{2} - 1200)}}{g})} =
\\
100\dfrac{300 + gt}{-200 + \sqrt{300^2 - 2g( 300t + \dfrac{gt^2}{2} - 1200)}} [/tex3]

Logo a frequência no tempo t é:
[tex3]100\dfrac{300 + gt}{\sqrt{300^2 - 2g( 300t + \dfrac{gt^2}{2} - 1200)} - 200} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]100\dfrac{300 + gt}{\sqrt{300^2 - 2g( 300t + \dfrac{gt^2}{2} - 1200)} - 200} [/tex3]

talvez eu tenha errado algo pelo caminho, ou feito alguma falsa afirmação. Não tem nada no gabarito da questão?