Demonstre que as coordenadas do circuncentro C de um triângulo A,B e C (não-retângulo) podem ser dadas por
[tex3]C = \frac{A.sen(2\alpha) + B.sen(2\beta) + C.sen(2\gamma)}{sen(2\alpha) + sen(2\beta) + sen(2\gamma)}[/tex3]
IME / ITA ⇒ (IME/ITA) Geometria Analítica Tópico resolvido
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Jpgonçalves
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παθμ
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Mai 2024
03
00:18
Re: (IME/ITA) Geometria Analítica
Jpgonçalves, minha solução se fundamenta no fato de que a validade dessa fórmula em um sistema de coordenadas cartesiano implica na validade dela em qualquer outro sistema no mesmo plano. Suponha que ela seja válida em um determinado sistema de coordenadas S. A lei de transformação de um ponto [tex3]i[/tex3]
para um sistema S' é da forma [tex3]x'_{i}=ax_i+by_i+c[/tex3]
e [tex3]y'_{i}=dx_i+ey_i+f.[/tex3]
Sendo O o circuncentro:
[tex3]x_O=\frac{x_a \sin(2\alpha)+x_b \sin(2\beta)+x_c \sin(2\gamma)}{\sin(2\alpha)+\sin(2\beta)+\sin(2\gamma)},[/tex3] e analogamente para [tex3]y_O.[/tex3]
Sendo [tex3]x_e'[/tex3] o valor da expressão acima, mas usando os [tex3]x'[/tex3] ao invés dos x:
[tex3]x_e'=\frac{(ax_a+by_a+c)\sin(2\alpha)+(ax_b+by_b+c)\sin(2\beta)+(ax_c+by_c+c)\sin(2\gamma)}{\sin(2\alpha)+\sin(2\beta)+\sin(2\gamma)}=\frac{a(x_a \sin(2\alpha)+x_b \sin(2\beta)+x_c \sin(2\gamma))+b(y_a \sin(2\alpha)+y_b \sin(2\beta)+y_c \sin(2\gamma))+c(\sin(2\alpha)+\sin(2\beta)+\sin(2\gamma))}{\sin(2\alpha)+\sin(2\beta)+\sin(2\gamma)}=ax_O+by_O+c=x_O'.[/tex3]
Então [tex3]x_e'= x_O',[/tex3] e analogamente para [tex3]y_O'.[/tex3] Então de fato a validade da fórmula independe do sistema de coordenadas escolhido (isso é um caso particular do fato de que equações puramente tensoriais independem do sistema de referência usado para representar os tensores).
Por isso, vou escolher o seguinte sistema de coordenadas (x, y) bastante conveniente:
Temos [tex3]x_O=R \cos(90 \degree -\gamma)=R \sin(\gamma), \; \; \; y_O=R \sin(90 \degree - \gamma)=R \cos(\gamma).[/tex3]
[tex3]A=(0, \; 0), \; \; B=(b, \; 0), \; \; C=(b \cos(\alpha), \; b\sin(\alpha)). [/tex3]
Vamos calcular então [tex3]y_e=\frac{y_a \sin(2\alpha)+y_b \sin(2\beta)+y_c \sin(2\gamma)}{\sin(2\alpha)+\sin(2\beta)+\sin(2\gamma)}=\frac{b \sin(\alpha) \sin(2\gamma)}{\sin(2\alpha)+\sin(2\beta)+\sin(2\gamma)}.[/tex3] (1)
Pela lei extendida dos senos, [tex3]b=2R \sin(\beta).[/tex3] Além disso, somando as áreas dos 3 triângulos isósceles com vértice no ponto O, temos [tex3]\frac{R^2(\sin(2\alpha)+\sin(2\beta)+\sin(2\gamma))}{2}=S \Longrightarrow \sin(2\alpha)+\sin(2\beta)+\sin(2\gamma)=\frac{2S}{R^2},[/tex3] sendo S a área do triângulo ABC.
Ademais, podemos usar a fórmula [tex3]S=\frac{abc}{4R},[/tex3] de onde obtemos então [tex3]\sin(2\alpha)+\sin(2\beta)+\sin(2\gamma)=\frac{abc}{2R^3}.[/tex3]
Inserindo esses resultados na equação (1): [tex3]y_e=\frac{4R^4 \sin(\beta) \sin(2\gamma)\sin(\alpha)}{abc}.[/tex3]
Usando [tex3]\frac{\sin(\alpha)}{a}=\frac{\sin(\beta)}{b}=\frac{2}{R}:[/tex3]
[tex3]y_e=\frac{R^2 \sin(2\gamma)}{c}=\frac{R^2 \cdot 2 \sin(\gamma)\cos(\gamma)}{c}=2R^2 \cdot \frac{1}{2R} \cdot \cos(\gamma)=R \cos(\gamma).[/tex3]
Então [tex3]y_e=y_O.[/tex3] Agora só falta fazer a conta para x, que é um pouco mais difícil.
[tex3]x_e=\frac{x_a \sin(2\alpha)+x_b \sin(2\beta)+x_c \sin(2\gamma)}{\sin(2\alpha)+\sin(2\beta)+\sin(2\gamma)}=\frac{4R^4(\sin(\gamma)\sin(2\beta)+\sin(\beta)\cos(\alpha)\sin(2\gamma))}{8R^3\sin(\alpha)\sin(\beta)\sin(\gamma)}.[/tex3]
Usando [tex3]\sin(2\beta)=2\sin(\beta) \cos(\beta)[/tex3] e a mesma identidade para [tex3]\sin(2\gamma):[/tex3]
[tex3]x_e=\frac{R(\cos(\beta)+\cos(\alpha)\cos(\gamma))}{\sin(\alpha)}.[/tex3]
Ademais, [tex3]\cos(\alpha+ \gamma)=\cos(\alpha) \cos(\gamma)-\sin(\alpha) \sin(\gamma).[/tex3]
Mas [tex3]\cos(\alpha+\gamma)=\cos(\pi - \beta)=-\cos(\beta),[/tex3] então [tex3]\cos(\alpha) \cos(\gamma)=\sin(\alpha)\sin(\gamma)-\cos(\beta),[/tex3] daí:
[tex3]x_e=\frac{R \sin(\alpha) \sin(\gamma)}{\sin(\alpha)}=R \sin(\gamma).[/tex3] Então [tex3]x_e=x_O[/tex3] e a fórmula está demonstrada.
Sendo O o circuncentro:
[tex3]x_O=\frac{x_a \sin(2\alpha)+x_b \sin(2\beta)+x_c \sin(2\gamma)}{\sin(2\alpha)+\sin(2\beta)+\sin(2\gamma)},[/tex3] e analogamente para [tex3]y_O.[/tex3]
Sendo [tex3]x_e'[/tex3] o valor da expressão acima, mas usando os [tex3]x'[/tex3] ao invés dos x:
[tex3]x_e'=\frac{(ax_a+by_a+c)\sin(2\alpha)+(ax_b+by_b+c)\sin(2\beta)+(ax_c+by_c+c)\sin(2\gamma)}{\sin(2\alpha)+\sin(2\beta)+\sin(2\gamma)}=\frac{a(x_a \sin(2\alpha)+x_b \sin(2\beta)+x_c \sin(2\gamma))+b(y_a \sin(2\alpha)+y_b \sin(2\beta)+y_c \sin(2\gamma))+c(\sin(2\alpha)+\sin(2\beta)+\sin(2\gamma))}{\sin(2\alpha)+\sin(2\beta)+\sin(2\gamma)}=ax_O+by_O+c=x_O'.[/tex3]
Então [tex3]x_e'= x_O',[/tex3] e analogamente para [tex3]y_O'.[/tex3] Então de fato a validade da fórmula independe do sistema de coordenadas escolhido (isso é um caso particular do fato de que equações puramente tensoriais independem do sistema de referência usado para representar os tensores).
Por isso, vou escolher o seguinte sistema de coordenadas (x, y) bastante conveniente:
- d0adc10f-aee9-45ff-a192-56452e44a1c1.jpg (8.61 KiB) Exibido 111 vezes
[tex3]A=(0, \; 0), \; \; B=(b, \; 0), \; \; C=(b \cos(\alpha), \; b\sin(\alpha)). [/tex3]
Vamos calcular então [tex3]y_e=\frac{y_a \sin(2\alpha)+y_b \sin(2\beta)+y_c \sin(2\gamma)}{\sin(2\alpha)+\sin(2\beta)+\sin(2\gamma)}=\frac{b \sin(\alpha) \sin(2\gamma)}{\sin(2\alpha)+\sin(2\beta)+\sin(2\gamma)}.[/tex3] (1)
Pela lei extendida dos senos, [tex3]b=2R \sin(\beta).[/tex3] Além disso, somando as áreas dos 3 triângulos isósceles com vértice no ponto O, temos [tex3]\frac{R^2(\sin(2\alpha)+\sin(2\beta)+\sin(2\gamma))}{2}=S \Longrightarrow \sin(2\alpha)+\sin(2\beta)+\sin(2\gamma)=\frac{2S}{R^2},[/tex3] sendo S a área do triângulo ABC.
Ademais, podemos usar a fórmula [tex3]S=\frac{abc}{4R},[/tex3] de onde obtemos então [tex3]\sin(2\alpha)+\sin(2\beta)+\sin(2\gamma)=\frac{abc}{2R^3}.[/tex3]
Inserindo esses resultados na equação (1): [tex3]y_e=\frac{4R^4 \sin(\beta) \sin(2\gamma)\sin(\alpha)}{abc}.[/tex3]
Usando [tex3]\frac{\sin(\alpha)}{a}=\frac{\sin(\beta)}{b}=\frac{2}{R}:[/tex3]
[tex3]y_e=\frac{R^2 \sin(2\gamma)}{c}=\frac{R^2 \cdot 2 \sin(\gamma)\cos(\gamma)}{c}=2R^2 \cdot \frac{1}{2R} \cdot \cos(\gamma)=R \cos(\gamma).[/tex3]
Então [tex3]y_e=y_O.[/tex3] Agora só falta fazer a conta para x, que é um pouco mais difícil.
[tex3]x_e=\frac{x_a \sin(2\alpha)+x_b \sin(2\beta)+x_c \sin(2\gamma)}{\sin(2\alpha)+\sin(2\beta)+\sin(2\gamma)}=\frac{4R^4(\sin(\gamma)\sin(2\beta)+\sin(\beta)\cos(\alpha)\sin(2\gamma))}{8R^3\sin(\alpha)\sin(\beta)\sin(\gamma)}.[/tex3]
Usando [tex3]\sin(2\beta)=2\sin(\beta) \cos(\beta)[/tex3] e a mesma identidade para [tex3]\sin(2\gamma):[/tex3]
[tex3]x_e=\frac{R(\cos(\beta)+\cos(\alpha)\cos(\gamma))}{\sin(\alpha)}.[/tex3]
Ademais, [tex3]\cos(\alpha+ \gamma)=\cos(\alpha) \cos(\gamma)-\sin(\alpha) \sin(\gamma).[/tex3]
Mas [tex3]\cos(\alpha+\gamma)=\cos(\pi - \beta)=-\cos(\beta),[/tex3] então [tex3]\cos(\alpha) \cos(\gamma)=\sin(\alpha)\sin(\gamma)-\cos(\beta),[/tex3] daí:
[tex3]x_e=\frac{R \sin(\alpha) \sin(\gamma)}{\sin(\alpha)}=R \sin(\gamma).[/tex3] Então [tex3]x_e=x_O[/tex3] e a fórmula está demonstrada.
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petras
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Mai 2024
03
11:23
Re: (IME/ITA) Geometria Analítica
Jpgonçalves,
PAra conhecimento, outra maneira
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Jpgonçalves
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