IME / ITA ⇒ (Escola Naval - 2013) Trigonometria Tópico resolvido

[gabrielmacc]

A figura abaixo mostra um paralelogramo [tex3]ABCD[/tex3]

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[tex3]ABCD[/tex3]

. Se d representa o comprimento da diagonal [tex3]BD[/tex3]

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[tex3]BD[/tex3]

e [tex3]\alpha [/tex3]

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[tex3]\alpha [/tex3]

e beta são ângulos conhecidos (ver figura), podemos afirmar que o comprimento [tex3]x[/tex3]

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[tex3]x[/tex3]

do lado [tex3]AB[/tex3]

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[tex3]AB[/tex3]

satisfaz a equação

Captura de tela 2024-04-13 165053.png (67 KiB) Exibido 153 vezes

Resposta

---

5) B

[ProfLaplace]

Eai, beleza?
O ângulo BAD é [tex3]\pi-(\alpha+\beta)[/tex3]

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[tex3]\pi-(\alpha+\beta)[/tex3]

e o ângulo ADB é [tex3]\alpha[/tex3]

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[tex3]\alpha[/tex3]

.
Aplique Lei dos Senos no triângulo ABD:

[tex3]\frac{x}{\sin{\alpha}}=\frac{d}{\sin{(\pi-(\alpha+\beta))}}=\frac{d}{\sin{(\alpha+\beta)}} \Rightarrow x=\frac{d\sin{\alpha}}{\sin{(\alpha+\beta)}}[/tex3]

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[tex3]\frac{x}{\sin{\alpha}}=\frac{d}{\sin{(\pi-(\alpha+\beta))}}=\frac{d}{\sin{(\alpha+\beta)}} \Rightarrow x=\frac{d\sin{\alpha}}{\sin{(\alpha+\beta)}}[/tex3]

.

Substituindo esse x na letra B do enunciado, você chega em [tex3]\arctan{(\tan{\alpha})}[/tex3]

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[tex3]\arctan{(\tan{\alpha})}[/tex3]

, que é realmente [tex3]\alpha[/tex3]

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[tex3]\alpha[/tex3]

.

[gabrielmacc]

hmm entendi, ent n tinha como chegar em si na resposta né, vc tinha que sacar a substituição e ver se dava? pq eu cheguei nessa relação porem n soube oq fazer com ela.Obrigado msm.

[petras]

gabrielmacc,

[tex3]\angle A = 180^o -(\alpha+\beta)\\
\frac{d}{sen\angle A}=\frac{x}{sen \alpha} \implies \frac{d}{sen180^o -(\alpha+\beta)}=\frac{x}{sen \alpha} \\
sen(ab) = seacosb-senbcosa \implies sen180cos(\alpha+\beta)-sen(\alpha+\beta)-cos180^o =\\
0.cos(\alpha+\beta)-sen(\alpha+\beta)(-1)=sen(\alpha+\beta)\\
\therefore x = \frac{dsen\alpha}{sen(\alpha+\beta}\implies sen\alpha =\frac{xsen(\alpha+\beta)}{d} (\frac{1}{cos \alpha})\\
tg\alpha =\frac{xsen(\alpha+\beta)}{cos\alpha.d} \therefore \boxed{\alpha = arc tg (\frac{xsen(\alpha+\beta)}{cos\alpha.d})}
[/tex3]

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[tex3]\angle A = 180^o -(\alpha+\beta)\\
\frac{d}{sen\angle A}=\frac{x}{sen \alpha} \implies \frac{d}{sen180^o -(\alpha+\beta)}=\frac{x}{sen \alpha} \\
sen(ab) = seacosb-senbcosa \implies sen180cos(\alpha+\beta)-sen(\alpha+\beta)-cos180^o =\\
0.cos(\alpha+\beta)-sen(\alpha+\beta)(-1)=sen(\alpha+\beta)\\
\therefore x = \frac{dsen\alpha}{sen(\alpha+\beta}\implies sen\alpha =\frac{xsen(\alpha+\beta)}{d} (\frac{1}{cos \alpha})\\
tg\alpha =\frac{xsen(\alpha+\beta)}{cos\alpha.d} \therefore \boxed{\alpha = arc tg (\frac{xsen(\alpha+\beta)}{cos\alpha.d})}
[/tex3]