Ensino Superior ⇒ Teoria dos Números Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Abr 2024
11
11:33
Teoria dos Números
Prove que se [tex3](x,y,z)[/tex3] é uma terna pitagórica, então [tex3]x[/tex3] ou [tex3]y[/tex3] ou [tex3]z[/tex3] é múltiplo de [tex3]5[/tex3].
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Abr 2024
11
11:42
Re: Teoria dos Números
Consegui fazer,
Por absurdo, suponha que [tex3]5\nmid x[/tex3] , [tex3]5\nmid y[/tex3] e [tex3]5\nmid z[/tex3] . Então, [tex3]x^2,y^2,z^2\equiv\pm 1(\text{mod}\;5)[/tex3] . Os possíveis valores de [tex3]x^2+y^2[/tex3] são:
[tex3]x^2\equiv1(\text{mod}\;5)[/tex3] e [tex3]y^2\equiv1(\text{mod}\;5)[/tex3] [tex3]\Rightarrow x^2+y^2\equiv2(\text{mod}\;5)[/tex3]
[tex3]x^2\equiv1(\text{mod}\;5)[/tex3] e [tex3]y^2\equiv-1(\text{mod}\;5)[/tex3] [tex3]\Rightarrow x^2+y^2\equiv0(\text{mod}\;5)[/tex3]
[tex3]x^2\equiv-1(\text{mod}\;5)[/tex3] e [tex3]y^2\equiv1(\text{mod}\;5)[/tex3] [tex3]\Rightarrow x^2+y^2\equiv0(\text{mod}\;5)[/tex3]
[tex3]x^2\equiv-1(\text{mod}\;5)[/tex3] e [tex3]y^2\equiv-1(\text{mod}\;5)[/tex3] [tex3]\Rightarrow x^2+y^2\equiv-2(\text{mod}\;5)[/tex3]
Como [tex3]x^2+y^2=z^2[/tex3] , então [tex3]x^2+y^2\equiv0,2[/tex3] ou [tex3]-2(\text{mod}\;5)[/tex3] e [tex3]z^2\equiv\pm 1(\text{mod}\;5)[/tex3] . Contradição. Logo, [tex3]5\mid x[/tex3] ou [tex3]5\mid y[/tex3] ou [tex3]5\mid z[/tex3] .
Por absurdo, suponha que [tex3]5\nmid x[/tex3] , [tex3]5\nmid y[/tex3] e [tex3]5\nmid z[/tex3] . Então, [tex3]x^2,y^2,z^2\equiv\pm 1(\text{mod}\;5)[/tex3] . Os possíveis valores de [tex3]x^2+y^2[/tex3] são:
[tex3]x^2\equiv1(\text{mod}\;5)[/tex3] e [tex3]y^2\equiv1(\text{mod}\;5)[/tex3] [tex3]\Rightarrow x^2+y^2\equiv2(\text{mod}\;5)[/tex3]
[tex3]x^2\equiv1(\text{mod}\;5)[/tex3] e [tex3]y^2\equiv-1(\text{mod}\;5)[/tex3] [tex3]\Rightarrow x^2+y^2\equiv0(\text{mod}\;5)[/tex3]
[tex3]x^2\equiv-1(\text{mod}\;5)[/tex3] e [tex3]y^2\equiv1(\text{mod}\;5)[/tex3] [tex3]\Rightarrow x^2+y^2\equiv0(\text{mod}\;5)[/tex3]
[tex3]x^2\equiv-1(\text{mod}\;5)[/tex3] e [tex3]y^2\equiv-1(\text{mod}\;5)[/tex3] [tex3]\Rightarrow x^2+y^2\equiv-2(\text{mod}\;5)[/tex3]
Como [tex3]x^2+y^2=z^2[/tex3] , então [tex3]x^2+y^2\equiv0,2[/tex3] ou [tex3]-2(\text{mod}\;5)[/tex3] e [tex3]z^2\equiv\pm 1(\text{mod}\;5)[/tex3] . Contradição. Logo, [tex3]5\mid x[/tex3] ou [tex3]5\mid y[/tex3] ou [tex3]5\mid z[/tex3] .
Editado pela última vez por Idocrase em 11 Abr 2024, 13:16, em um total de 2 vezes.
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