Ensino Superior ⇒ Calculo I Tópico resolvido

[flamel]

Como resolver lim [tex3]\frac{\sqrt{5x+4}-3}{\sqrt[3]{x-2}+1}[/tex3] quando x tende a 1?

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eu tentei da seguinte maneira: multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador que fica: lim de [tex3]\frac{\sqrt[]{5x+4}-3\cdot \sqrt[3]{x-2}-1}{\sqrt[3]{x-2}+1\cdot \sqrt[3]{x-2}-1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\sqrt[]{5x+4}-3\cdot \sqrt[3]{x-2}-1}{\sqrt[3]{x-2}+1\cdot \sqrt[3]{x-2}-1}[/tex3]

quando x tende a 1 =
=lim [tex3]\frac{\sqrt[]{(5x+4}-3)\cdot (\sqrt[3]{x-2}-1}{x-2-1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\sqrt[]{(5x+4}-3)\cdot (\sqrt[3]{x-2}-1}{x-2-1}[/tex3]

quando x se aproxima de 1 =
=lim [tex3]\frac{\sqrt({5x+4}-3)(\sqrt[3]{x-2}-1)}{x-3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\sqrt({5x+4}-3)(\sqrt[3]{x-2}-1)}{x-3}[/tex3]

quando x tende a 1
multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do numerador
lim [tex3]\frac{\sqrt{(5x+4}-3)(\sqrt[3]{x-2}-1)(\sqrt{5x+4}+3)}{(x-3)(\sqrt{5x+4}+3)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\sqrt{(5x+4}-3)(\sqrt[3]{x-2}-1)(\sqrt{5x+4}+3)}{(x-3)(\sqrt{5x+4}+3)}[/tex3]

quando x tende a 1=
=lim[tex3]\frac{(5x+4-9)(\sqrt[3]{x-2}-1)}{(x-3)(\sqrt{5x+4}+3)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{(5x+4-9)(\sqrt[3]{x-2}-1)}{(x-3)(\sqrt{5x+4}+3)}[/tex3]

=lim [tex3]\frac{(5x-5)(\sqrt[3]{x-2}-1)}{(x-3)(\sqrt{5x+4}+3)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{(5x-5)(\sqrt[3]{x-2}-1)}{(x-3)(\sqrt{5x+4}+3)}[/tex3]

quando x se aproxima de 1
Usando as propriedades dos limites, para resolver, chego em: 0/-12
Por que resolver dessa maneira deu errado?
Ps: a resposta certa é, segundo o livro do iezzi, limites e derivadas (vol 8 fme) (exercício no 48(a)):

Resposta

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GABARITO = -3

[παθμ]

flamel,

Screenshot 2024-01-27 132248.png (11.58 KiB) Exibido 179 vezes

Aqui você já errou. Você sem querer disse que [tex3]\left((x-2)^{1/3}\right)^2=x-2.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left((x-2)^{1/3}\right)^2=x-2.[/tex3]

Um jeito fácil de resolver esse limite é com expansões de Taylor. Seja [tex3]x=1+\delta[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=1+\delta[/tex3]

(tal que [tex3]\delta \rightarrow 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\delta \rightarrow 0[/tex3]

).

[tex3]\sqrt{5x+4}=\sqrt{9+5\delta}=3\sqrt{1+\frac{5\delta}{9}}=3\left(1+\frac{5\delta}{18}\right)+O(\delta^2).[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{5x+4}=\sqrt{9+5\delta}=3\sqrt{1+\frac{5\delta}{9}}=3\left(1+\frac{5\delta}{18}\right)+O(\delta^2).[/tex3]

[tex3](x-2)^{1/3}=(\delta-1)^{1/3}=-(1-\delta)^{1/3}=-\left(1-\frac{\delta}{3}\right)+O(\delta^2)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x-2)^{1/3}=(\delta-1)^{1/3}=-(1-\delta)^{1/3}=-\left(1-\frac{\delta}{3}\right)+O(\delta^2)[/tex3]

Aí:

[tex3]L=\frac{(5\delta/6)+O(\delta^2)}{(\delta/3)+O(\delta^2)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]L=\frac{(5\delta/6)+O(\delta^2)}{(\delta/3)+O(\delta^2)}[/tex3]

Como [tex3]\delta \rightarrow 0,[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\delta \rightarrow 0,[/tex3]

negligenciamos termos da ordem de [tex3]\delta^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\delta^2[/tex3]

somados ou subtraídos de termos da ordem de [tex3]\delta,[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\delta,[/tex3]

ficando com [tex3]L=\frac{5/6}{1/3}=\boxed{\frac{5}{2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]L=\frac{5/6}{1/3}=\boxed{\frac{5}{2}}[/tex3]

O gabarito do livro está errado. Pode conferir no Wolfram Alpha, por exemplo. A resposta é 5/2.

[flamel]

flamel,

Screenshot 2024-01-27 132248.png

Aqui você já errou. Você sem querer disse que [tex3]\left((x-2)^{1/3}\right)^2=x-2.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left((x-2)^{1/3}\right)^2=x-2.[/tex3]

Um jeito fácil de resolver esse limite é com expansões de Taylor. Seja [tex3]x=1+\delta[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=1+\delta[/tex3]

(tal que [tex3]\delta \rightarrow 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\delta \rightarrow 0[/tex3]

).

[tex3]\sqrt{5x+4}=\sqrt{9+5\delta}=3\sqrt{1+\frac{5\delta}{9}}=3\left(1+\frac{5\delta}{18}\right)+O(\delta^2).[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{5x+4}=\sqrt{9+5\delta}=3\sqrt{1+\frac{5\delta}{9}}=3\left(1+\frac{5\delta}{18}\right)+O(\delta^2).[/tex3]

[tex3](x-2)^{1/3}=(\delta-1)^{1/3}=-(1-\delta)^{1/3}=-\left(1-\frac{\delta}{3}\right)+O(\delta^2)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x-2)^{1/3}=(\delta-1)^{1/3}=-(1-\delta)^{1/3}=-\left(1-\frac{\delta}{3}\right)+O(\delta^2)[/tex3]

Aí:

[tex3]L=\frac{(5\delta/6)+O(\delta^2)}{(\delta/3)+O(\delta^2)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]L=\frac{(5\delta/6)+O(\delta^2)}{(\delta/3)+O(\delta^2)}[/tex3]

Como [tex3]\delta \rightarrow 0,[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\delta \rightarrow 0,[/tex3]

negligenciamos termos da ordem de [tex3]\delta^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\delta^2[/tex3]

somados ou subtraídos de termos da ordem de [tex3]\delta,[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\delta,[/tex3]

ficando com [tex3]L=\frac{5/6}{1/3}=\boxed{\frac{5}{2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]L=\frac{5/6}{1/3}=\boxed{\frac{5}{2}}[/tex3]

O gabarito do livro está errado. Pode conferir no Wolfram Alpha, por exemplo. A resposta é 5/2.

Meu caro, MUITÍSSIMO OBRIGADO! Eu não consegui sozinho enxergar esse erro de maneira alguma, e olha que revisei várias vezes. TMJ