Ensino Superior ⇒ Convergência de sequências

[DudaS]

Calcule [tex3]lim(x)^n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]lim(x)^n[/tex3]

se
a) [tex3]x_n=\sqrt{n}(\sqrt{n+a}-\sqrt{n})[/tex3]

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[tex3]x_n=\sqrt{n}(\sqrt{n+a}-\sqrt{n})[/tex3]

b)[tex3]x_n=n[(a+\frac{1}{n})^4-a^4][/tex3]

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[tex3]x_n=n[(a+\frac{1}{n})^4-a^4][/tex3]

Agradeço a ajuda!

Resposta

---

a) [tex3]\frac{a}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{a}{2}[/tex3]

b)[tex3]4a^3[/tex3]

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[tex3]4a^3[/tex3]

[παθμ]

DudaS, usarei expansões de Taylor.

a) [tex3]\sqrt{n+a}=\sqrt{n}\sqrt{1+\frac{a}{n}}=\sqrt{n}\left(1+\frac{a}{2n}+O\left((1/n)^2\right)\right)[/tex3]

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[tex3]\sqrt{n+a}=\sqrt{n}\sqrt{1+\frac{a}{n}}=\sqrt{n}\left(1+\frac{a}{2n}+O\left((1/n)^2\right)\right)[/tex3]

Daí: [tex3]L=\sqrt{n}\left(\frac{a}{2\sqrt{n}}+\sqrt{n}O\left((1/n)^2\right)\right)=\frac{a}{2}+O(1/n).[/tex3]

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[tex3]L=\sqrt{n}\left(\frac{a}{2\sqrt{n}}+\sqrt{n}O\left((1/n)^2\right)\right)=\frac{a}{2}+O(1/n).[/tex3]

Como [tex3]n \rightarrow \infty[/tex3]

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[tex3]n \rightarrow \infty[/tex3]

temos [tex3]O(1/n) \rightarrow 0[/tex3]

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[tex3]O(1/n) \rightarrow 0[/tex3]

e [tex3]\boxed{L=\frac{a}{2}}[/tex3]

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[tex3]\boxed{L=\frac{a}{2}}[/tex3]

b) [tex3]\left(a+\frac{1}{n}\right)^4=a^4\left(1+\frac{1}{an}\right)^4=a^4\left(1+\frac{4}{an}+O(1/n^2)\right).[/tex3]

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[tex3]\left(a+\frac{1}{n}\right)^4=a^4\left(1+\frac{1}{an}\right)^4=a^4\left(1+\frac{4}{an}+O(1/n^2)\right).[/tex3]

Daí: [tex3]L=n\left(\frac{4a^3}{n}+a^4O(1/n^2)\right) \Longrightarrow L=4a^3+O(1/n) \Longrightarrow \boxed{L=4a^3}[/tex3]

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[tex3]L=n\left(\frac{4a^3}{n}+a^4O(1/n^2)\right) \Longrightarrow L=4a^3+O(1/n) \Longrightarrow \boxed{L=4a^3}[/tex3]

[FelipeMartin]

Dicas:
1-)

[tex3]\sqrt{n+a} - \sqrt n = \frac{a}{\sqrt{n+a}+ \sqrt{n}}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{n+a} - \sqrt n = \frac{a}{\sqrt{n+a}+ \sqrt{n}}[/tex3]

2-)

[tex3](a+b)^4 = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4[/tex3]

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[tex3](a+b)^4 = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4[/tex3]