Ensino Superior ⇒ Convergência de sequências Tópico resolvido

[DudaS]

Mostre que [tex3]\frac{n!}{n^n}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{n!}{n^n}[/tex3]

tende a 0 quando n tende ao infinito. Sugestão :desenvolva e observe.
Agradeço se puderem ajudar.

[FelipeMartin]

[tex3]\ln (n!) = \ln(1) + \ln(2) + ... + \ln(n) \leq \int_1^n \ln(x) dx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\ln (n!) = \ln(1) + \ln(2) + ... + \ln(n) \leq \int_1^n \ln(x) dx[/tex3]

mas [tex3]\int \ln(x) dx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int \ln(x) dx[/tex3]

pode ser calculada com integração por partes:

[tex3]uv = \int uv' + \int vu'[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]uv = \int uv' + \int vu'[/tex3]

[tex3]u = \ln(x) \implies u' = \frac1x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]u = \ln(x) \implies u' = \frac1x[/tex3]

e [tex3]v = x \implies v'=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]v = x \implies v'=1[/tex3]

[tex3]x \ln(x) = \int \ln(x) dx + \int 1dx \implies \int \ln(x) = x(\ln(x)-1) + C[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x \ln(x) = \int \ln(x) dx + \int 1dx \implies \int \ln(x) = x(\ln(x)-1) + C[/tex3]

pronto: [tex3]\ln(n!) \leq n(\ln(n)-1) +1 \implies n! \leq e\cdot (\frac{n}e)^n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\ln(n!) \leq n(\ln(n)-1) +1 \implies n! \leq e\cdot (\frac{n}e)^n[/tex3]

portanto:

[tex3]0 \leq \frac{n!}{n^n} \leq \frac1{e^{n-1}}[/tex3]

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[tex3]0 \leq \frac{n!}{n^n} \leq \frac1{e^{n-1}}[/tex3]

como [tex3]\lim_{n \to \infty} e^n = \infty[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{n \to \infty} e^n = \infty[/tex3]

, temos [tex3]\lim_{n \to \infty} \frac1{e^n} = 0[/tex3]

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[tex3]\lim_{n \to \infty} \frac1{e^n} = 0[/tex3]

.
Pelo teorema do sanduíche, temos que [tex3]\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^n} = 0[/tex3]

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[tex3]\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^n} = 0[/tex3]

[FelipeMartin]

outro jeito: desigualdade das médias nos números [tex3]1,2,3,...,n[/tex3]

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[tex3]1,2,3,...,n[/tex3]

:

[tex3]\frac{1+2+3+...+n}{n} \geq \sqrt[n]{n!}[/tex3]

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[tex3]\frac{1+2+3+...+n}{n} \geq \sqrt[n]{n!}[/tex3]

como [tex3]1+2+3+...+n = \frac{n(n+1)}2[/tex3]

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[tex3]1+2+3+...+n = \frac{n(n+1)}2[/tex3]

, temos:

[tex3]n! \leq \frac{(n+1)^n}{2^n}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n! \leq \frac{(n+1)^n}{2^n}[/tex3]

pronto:

[tex3]0 \leq \frac{n!}{n^n} \leq \frac1{2^n} \cdot (1+\frac1n)^n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]0 \leq \frac{n!}{n^n} \leq \frac1{2^n} \cdot (1+\frac1n)^n[/tex3]

o lado direito vai pra [tex3]e \cdot 0 = 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]e \cdot 0 = 0[/tex3]

[DudaS]

Muito obrigada, gostei muito da resolução! Só uma dúvida, por que ln(n!) é menor ou igual a integral definida de 1 a n de ln(x)?

[FelipeMartin]

DudaS, áreas de gráficos. A soma [tex3]\ln(1)+ \ln(2) +...+ \ln(n)[/tex3]

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[tex3]\ln(1)+ \ln(2) +...+ \ln(n)[/tex3]

é a soma de áreas de retângulos que estão abaixo da curva [tex3]y = \ln(x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y = \ln(x)[/tex3]

.
É tipo essa imagem no link, mas com retângulos em vez de trapézios:

https://cdn.kastatic.org/ka-perseus-gra ... 0b6975.svg

Eu prefiro minha segunda resolução.