Física I ⇒ Impulso e Quantidade de Movimento Tópico resolvido

[padeli675]

A figura mostra uma partícula que irá colidir sobre uma superfície no formato de uma elipse cujo coeficiente de restituição entre estes materiais vale 0,5. Se a partícula deixa a superfície na horizontal, qual a ordenada na qual acontece o impacto?

imagem_2024-01-10_032301601.png (38.46 KiB) Exibido 260 vezes

a) 1,72 cm
b) 2,71 cm
c) 1,94 cm
d) 2,18 cm
e) 2,52 cm

[παθμ]

padeli675,

Semi-eixo horizontal: [tex3]a=2.[/tex3]

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[tex3]a=2.[/tex3]

Semi-eixo vertical: [tex3]b=3.[/tex3]

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[tex3]b=3.[/tex3]

Então a equação da elipse é:

[tex3]\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1.[/tex3]

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[tex3]\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1.[/tex3]

Diferenciando os dois lados da equação:

[tex3]\frac{2x \text{d}x}{4}+\frac{2y \text{d}y}{9}=0 \Longrightarrow \frac{\text{d}y}{\text{d}x}=-\frac{9x}{4y}.[/tex3]

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[tex3]\frac{2x \text{d}x}{4}+\frac{2y \text{d}y}{9}=0 \Longrightarrow \frac{\text{d}y}{\text{d}x}=-\frac{9x}{4y}.[/tex3]

O desenho abaixo mostra a colisão da bola, onde eu represento a superfície tangente e a reta normal.

Screenshot 2024-01-10 121716.png (82.11 KiB) Exibido 254 vezes

Componentes normais da velocidade inicial e final: [tex3]v_n^{0}=v_0 \cos(\theta), \; \; v_n^{f}=v_0 \sin(\theta).[/tex3]

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[tex3]v_n^{0}=v_0 \cos(\theta), \; \; v_n^{f}=v_0 \sin(\theta).[/tex3]

Componentes tangenciais da velocidade inicial e final: [tex3]v_t^{0}=v_0 \sin(\theta), \; \; v_t^{f}=v \cos(\theta).[/tex3]

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[tex3]v_t^{0}=v_0 \sin(\theta), \; \; v_t^{f}=v \cos(\theta).[/tex3]

Não há troca de força na direção tangencial, então [tex3]v_t^0=v_t^f \Longrightarrow v=v_0 \tan(\theta).[/tex3]

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[tex3]v_t^0=v_t^f \Longrightarrow v=v_0 \tan(\theta).[/tex3]

Usando a definição de coeficiente de restituição:

[tex3]\frac{v_n^f}{v_n^0}=\frac{1}{2} \Longrightarrow \tan^2(\theta)=1/2 \Longrightarrow \tan(\theta)=\frac{1}{\sqrt{2}}.[/tex3]

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[tex3]\frac{v_n^f}{v_n^0}=\frac{1}{2} \Longrightarrow \tan^2(\theta)=1/2 \Longrightarrow \tan(\theta)=\frac{1}{\sqrt{2}}.[/tex3]

Então no ponto da colisão temos [tex3]\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{-9x}{4y} \Longrightarrow x^2=\frac{8y^2}{81}.[/tex3]

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[tex3]\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{-9x}{4y} \Longrightarrow x^2=\frac{8y^2}{81}.[/tex3]

[tex3]\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1 \Longrightarrow y^2=\frac{81}{11} \Longrightarrow \boxed{y \approx 2,71}[/tex3]

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[tex3]\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1 \Longrightarrow y^2=\frac{81}{11} \Longrightarrow \boxed{y \approx 2,71}[/tex3]

Alternativa B

[padeli675]

Muito obrigado pela ajuda!!