Ensino Superior ⇒ Derivadas - otimização

[Light89]

são duas questões:

1) Pediram que você projetasse uma lata de 1L com a forma de um cilindro
reto. Que dimensões exigirão menos material? (2r)

2) Uma tempestade no mar danificou uma plataforma de petróleo,
produzindo um vazamento de 60 m3/min que criou uma mancha de forma circular com 25
centímetros de espessura.
a) Qual é a taxa de aumento do raio da mancha quando o raio é 70 metros?
b) Suponha que o defeito seja consertado de tal modo que o vazamento pare
instantaneamente. Se o raio da mancha estava aumentando à taxa de 0,2 m/min quando o
vazamento parou, qual foi o volume de petróleo derramado?

[παθμ]

Light89, pelas regras do fórum, você precisa criar um tópico separado para cada questão. Por isso, neste tópico só vou responder a primeira. Para que a sua segunda questão seja respondida, crie outro tópico só para ela.




[tex3]V=\pi r^2h \Longrightarrow h=\frac{V}{\pi r^2}.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V=\pi r^2h \Longrightarrow h=\frac{V}{\pi r^2}.[/tex3]

Minimizar o material é minimizar a área superficial do cilindro.

[tex3]A=2\pi r h+2\pi r^2=2\left(\pi r^2+\frac{V}{r}\right).[/tex3]

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[tex3]A=2\pi r h+2\pi r^2=2\left(\pi r^2+\frac{V}{r}\right).[/tex3]

[tex3]\frac{dA}{dr}=2\left(2\pi r-\frac{V}{r^2}\right).[/tex3]

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[tex3]\frac{dA}{dr}=2\left(2\pi r-\frac{V}{r^2}\right).[/tex3]

Para minimizar [tex3]A,[/tex3]

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[tex3]A,[/tex3]

fazemos [tex3]dA/dr =0.[/tex3]

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[tex3]dA/dr =0.[/tex3]

[tex3]2\pi r -\frac{V}{r^2}=0 \Longrightarrow \boxed{r=\left(\frac{V}{2\pi}\right)^{1/3} \approx 0,542 \; \text{dm}}[/tex3]

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[tex3]2\pi r -\frac{V}{r^2}=0 \Longrightarrow \boxed{r=\left(\frac{V}{2\pi}\right)^{1/3} \approx 0,542 \; \text{dm}}[/tex3]

[tex3]\boxed{h=\frac{V}{\pi}\left(\frac{2\pi}{V}\right)^{2/3} \approx 1,084 \; \text{dm}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{h=\frac{V}{\pi}\left(\frac{2\pi}{V}\right)^{2/3} \approx 1,084 \; \text{dm}}[/tex3]