Pré-Vestibular ⇒ (UESB 2012) Trigonometria Tópico resolvido

[midnights]

Após uma aula sobre lei dos senos e lei dos cossenos, um professor de Matemática pediu aos seus alunos que fizessem como tarefa extra uma pesquisa sobre outras propriedades válidas em um triângulo qualquer, relacionando as medidas dos ângulos internos e dos lados do triângulo em estudo. Na data de entrega, um dos alunos apresentou uma curiosa propriedade sobre a razão entre as tangentes de dois ângulos internos.

Considerando-se um triângulo ABC, com a, b e c sendo as medidas dos lados opostos aos ângulos internos BÂC, e , nessa ordem e a2 ≠ b2 − c2, pode-se afirmar que:

imagem_2023-11-25_100114079.png (32.3 KiB) Exibido 234 vezes

Não faço ideia de como se resolve essa questão. Alguém pode me ajudar?

Resposta

---

B.

[petras]

midnights,

Transcreva sua questão abaixo da imagem ..não precisa criar um novo post... Você está despeitorado a primeira regra do fórum

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[midnights]

petras Peço perdão. Já arrumei!

[petras]

midnights,


[tex3]\frac{tg∠B}{tg∠C}=\frac{sen∠Bcos∠C}{sen∠Ccos∠B}\\

T. senos: \frac{b}{sen∠B}=\frac{c}{sen∠C}\implies \frac{b}{c}=\frac{sen∠B}{sen∠C}\\

Substitndo: \frac{tg∠B}{tg∠C}=\frac{b.ccos∠C}{cos∠B}\\

T. cossenos: cos∠C=\frac{a^2+b^2−c^2}{2ab}\\
cos∠B=\frac{a^2−b^2+c^2}{2ac}\\

Substituindo: \frac{b.ccos∠C}{c.cos∠B}=\frac{b.2ac(a^2+b^2−c^2)}{c.2ab(a^2−b^2+c^2)}\implies\\

\boxed{\frac{tg∠B}{tg∠C}=\frac{(a^2+b^2−c^2)}{a^2−b^2+c^2}}
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{tg∠B}{tg∠C}=\frac{sen∠Bcos∠C}{sen∠Ccos∠B}\\

T. senos: \frac{b}{sen∠B}=\frac{c}{sen∠C}\implies \frac{b}{c}=\frac{sen∠B}{sen∠C}\\

Substitndo: \frac{tg∠B}{tg∠C}=\frac{b.ccos∠C}{cos∠B}\\

T. cossenos: cos∠C=\frac{a^2+b^2−c^2}{2ab}\\
cos∠B=\frac{a^2−b^2+c^2}{2ac}\\

Substituindo: \frac{b.ccos∠C}{c.cos∠B}=\frac{b.2ac(a^2+b^2−c^2)}{c.2ab(a^2−b^2+c^2)}\implies\\

\boxed{\frac{tg∠B}{tg∠C}=\frac{(a^2+b^2−c^2)}{a^2−b^2+c^2}}
[/tex3]

(Solução:pie)