Ensino Superior ⇒ Fórmula para o polinômio quociente de uma divisão polinomial simples

[FelipeMartin]

Queremos examinar o quociente da divisão de um polinômio [tex3]p: \mathbb R \to \mathbb R[/tex3]

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[tex3]p: \mathbb R \to \mathbb R[/tex3]

, de grau positivo, [tex3]p(x)[/tex3]

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[tex3]p(x)[/tex3]

pelo fator [tex3](x-\alpha)[/tex3]

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[tex3](x-\alpha)[/tex3]

. Ou seja, queremos examinar [tex3]Q(x)[/tex3]

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[tex3]Q(x)[/tex3]

na expressão:

$$p(x) = (x-\alpha)Q(x) + p(\alpha) $$

Por série de Taylor, temos:

$$p(x) = p(\alpha) + (x-\alpha)p'(\alpha) + \frac{(x-\alpha)^2 p^{(2)}(\alpha)}2 + ... + \frac{(x-\alpha)^n p^{(n)}(\alpha)}{n!}$$

onde [tex3]n \geq 1, \in \mathbb N[/tex3]

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[tex3]n \geq 1, \in \mathbb N[/tex3]

é o grau do polinômio. Logo

[tex3]Q(x) = p'(\alpha) + \frac{(x-\alpha)p^{(2)}(\alpha)}{2} + ... + \frac{(x-\alpha)^{n-1} p^{(n)}(\alpha)}{n!} = \sum_{k=1}^{n} \frac{(x-\alpha)^{k-1} p^{(k)}(\alpha)}{k!} = \\ = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{(x-\alpha)^{k} p^{(k+1)}(\alpha)}{(k+1)!} = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{ p^{(k+1)}(\alpha)}{(k+1)!}\sum_{j=0}^k {k \choose j} x^j (-\alpha)^{k-j} = \sum_{k=0}^{n-1}\sum_{j=0}^k \frac{ p^{(k+1)}(\alpha)}{(k+1)!} {k \choose j} x^j (-\alpha)^{k-j} = \\ = \sum_{0\leq j \leq k \leq n-1} \frac{ p^{(k+1)}(\alpha)}{(k+1)!} {k \choose j} x^j (-\alpha)^{k-j} = \sum_{j=0}^{n-1} \sum_{k=j}^{n-1}\frac{ p^{(k+1)}(\alpha)}{(k+1)!} {k \choose j} x^j (-\alpha)^{k-j} = \sum_{j=0}^{n-1} x^j \sum_{k=j}^{n-1}\frac{ p^{(k+1)}(\alpha)}{(k+1)!} {k \choose j} (-\alpha)^{k-j}[/tex3]

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[tex3]Q(x) = p'(\alpha) + \frac{(x-\alpha)p^{(2)}(\alpha)}{2} + ... + \frac{(x-\alpha)^{n-1} p^{(n)}(\alpha)}{n!} = \sum_{k=1}^{n} \frac{(x-\alpha)^{k-1} p^{(k)}(\alpha)}{k!} = \\ = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{(x-\alpha)^{k} p^{(k+1)}(\alpha)}{(k+1)!} = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{ p^{(k+1)}(\alpha)}{(k+1)!}\sum_{j=0}^k {k \choose j} x^j (-\alpha)^{k-j} = \sum_{k=0}^{n-1}\sum_{j=0}^k \frac{ p^{(k+1)}(\alpha)}{(k+1)!} {k \choose j} x^j (-\alpha)^{k-j} = \\ = \sum_{0\leq j \leq k \leq n-1} \frac{ p^{(k+1)}(\alpha)}{(k+1)!} {k \choose j} x^j (-\alpha)^{k-j} = \sum_{j=0}^{n-1} \sum_{k=j}^{n-1}\frac{ p^{(k+1)}(\alpha)}{(k+1)!} {k \choose j} x^j (-\alpha)^{k-j} = \sum_{j=0}^{n-1} x^j \sum_{k=j}^{n-1}\frac{ p^{(k+1)}(\alpha)}{(k+1)!} {k \choose j} (-\alpha)^{k-j}[/tex3]

Então, o quociente da divisão polinomial descrita é um polinômio cujos coeficientes são dados pela expressão:

$$[x^j] = \sum_{k=j}^{n-1}\frac{ p^{(k+1)}(\alpha)}{(k+1)!} {k \choose j} (-\alpha)^{k-j}$$

para [tex3]0 \leq j \leq n-1, j \in \mathbb N[/tex3]

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[tex3]0 \leq j \leq n-1, j \in \mathbb N[/tex3]