Ensino Médio ⇒ Equações polinomiais, relações de Girard Tópico resolvido

[SBAN]

Fundamentos da matemática elementar Volume 6 questão 321

Resolva a equação [tex3]5x^4-26x^3-18x^2+32x-8=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]5x^4-26x^3-18x^2+32x-8=0[/tex3]

, sabendo que o produto de duas raízes é 2

Resposta

---

[tex3]S=[3-\sqrt{7}~,~3+\sqrt{7}~,~\frac{-2-2\sqrt{6}}{5}~,~\frac{-2+2\sqrt{6}}{5}][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S=[3-\sqrt{7}~,~3+\sqrt{7}~,~\frac{-2-2\sqrt{6}}{5}~,~\frac{-2+2\sqrt{6}}{5}][/tex3]

[petras]

SBAN,

[tex3]r_1+r_2+r_3+r_4 = \frac{26}{5} \implies r_1+r_2 = \frac{26}{5} - (r_3+r_4)(I)\\
r_1 r_2 r_3 + r_1r_2r_4+r_1r_3r_4+r_2r_3r_4 = -\frac{32}{5}(II)\\
r_1r_2r_3r_4 = -\frac{8}{5}(III)\\
r_1r_2 = 2(IV)\\
(IV)em(III): r_3r_4=-\frac{4}{5}(V)\\
(II): r_1r_2(r_3+r_4)+(r_1+r_2)r_3r_4 = -\frac{32}{5} \implies 2(r_3+r_4)-\frac{4}{5}(r_1+r_2) = -\frac{32}{5}\\
De(I): r_3+r_4=-\frac{4}{5}(VI)\\
r_3r_4=-\frac{4}{5}:r_3+r_4=-\frac{4}{5} \implies
5y^2+4y-4=0 (y^2-Sy+P = 0) \\
\therefore \boxed{r_3=\frac{-2-2\sqrt6}{5}~e~r_4 = \frac{-2+2\sqrt6}{5}}\\
r_1r_2 = 2:r_1+r_2=6 \implies y^2-6y+2 = 0 \\
\therefore \boxed{r_1 = 3-\sqrt7:r_2 = 3+\sqrt7}

[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r_1+r_2+r_3+r_4 = \frac{26}{5} \implies r_1+r_2 = \frac{26}{5} - (r_3+r_4)(I)\\
r_1 r_2 r_3 + r_1r_2r_4+r_1r_3r_4+r_2r_3r_4 = -\frac{32}{5}(II)\\
r_1r_2r_3r_4 = -\frac{8}{5}(III)\\
r_1r_2 = 2(IV)\\
(IV)em(III): r_3r_4=-\frac{4}{5}(V)\\
(II): r_1r_2(r_3+r_4)+(r_1+r_2)r_3r_4 = -\frac{32}{5} \implies 2(r_3+r_4)-\frac{4}{5}(r_1+r_2) = -\frac{32}{5}\\
De(I): r_3+r_4=-\frac{4}{5}(VI)\\
r_3r_4=-\frac{4}{5}:r_3+r_4=-\frac{4}{5} \implies
5y^2+4y-4=0 (y^2-Sy+P = 0) \\
\therefore \boxed{r_3=\frac{-2-2\sqrt6}{5}~e~r_4 = \frac{-2+2\sqrt6}{5}}\\
r_1r_2 = 2:r_1+r_2=6 \implies y^2-6y+2 = 0 \\
\therefore \boxed{r_1 = 3-\sqrt7:r_2 = 3+\sqrt7}

[/tex3]

(Solução:Iezzi)