Física II ⇒ Movimento Periódico e Oscilações Tópico resolvido
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Out 2023
25
12:43
Movimento Periódico e Oscilações
Duas partículas (m1 e m2) de mesma massa m deslocam-se com atrito desprezível sobre uma superfície horizontal, presas por molas de constante elástica k a paredes verticais e ligadas uma à outra por uma mola de constante elástica K >> k. Suponha que o sistema está em movimento e os blocos estão oscilando e os deslocamentos da posição de equilíbrio os deslocamentos x1(t) da m1 e x2(t) da m2.
(a) Determine a possíveis frequências de oscilação do sistema (modos normais). Considere os modos normais como sendo q1(t) = x1(t) + x2(t) e q2(t) = x1(t) − x2(t)
(a) Determine a possíveis frequências de oscilação do sistema (modos normais). Considere os modos normais como sendo q1(t) = x1(t) + x2(t) e q2(t) = x1(t) − x2(t)
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- παθμ
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Out 2023
25
14:38
Re: Movimento Periódico e Oscilações
Sabenada,
Poderíamos usar o método usual para achar as frequências normais, calculando o determinante. Mas aqui, como [tex3]m_1=m_2=m,[/tex3] os dois modos normais são bem óbvios, além de que, como o sistema tem 2 graus de liberdade, já sabemos que são no máximo 2 modos normais.
O primeiro modo normal é quando as duas massas oscilam em fase. A mola [tex3]K[/tex3] permanece relaxada, e a distância entre as duas massas permanece sempre a mesma. Assim, a primeira frequência normal é simplesmente [tex3]\boxed{\omega_1=\sqrt{\frac{k}{m}}}.[/tex3]
O segundo modo normal é quando as massas oscilam em oposição de fase. Em um momento qualquer em que as duas massas distam [tex3]x[/tex3] de suas posições de equilíbrio, a força em uma delas devido à mola presa na parede é [tex3]kx[/tex3] e a força devido à mola central é [tex3]2Kx.[/tex3]
Assim, a força restauradora é [tex3](k+2K)x,[/tex3] e então a segunda frequência normal é [tex3]\boxed{\omega_2=\sqrt{\frac{k+2K}{m}}}[/tex3]
Poderíamos usar o método usual para achar as frequências normais, calculando o determinante. Mas aqui, como [tex3]m_1=m_2=m,[/tex3] os dois modos normais são bem óbvios, além de que, como o sistema tem 2 graus de liberdade, já sabemos que são no máximo 2 modos normais.
O primeiro modo normal é quando as duas massas oscilam em fase. A mola [tex3]K[/tex3] permanece relaxada, e a distância entre as duas massas permanece sempre a mesma. Assim, a primeira frequência normal é simplesmente [tex3]\boxed{\omega_1=\sqrt{\frac{k}{m}}}.[/tex3]
O segundo modo normal é quando as massas oscilam em oposição de fase. Em um momento qualquer em que as duas massas distam [tex3]x[/tex3] de suas posições de equilíbrio, a força em uma delas devido à mola presa na parede é [tex3]kx[/tex3] e a força devido à mola central é [tex3]2Kx.[/tex3]
Assim, a força restauradora é [tex3](k+2K)x,[/tex3] e então a segunda frequência normal é [tex3]\boxed{\omega_2=\sqrt{\frac{k+2K}{m}}}[/tex3]
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Out 2023
25
14:50
Re: Movimento Periódico e Oscilações
Obrigado por responder παθμ, lendo a sua resposta agr entendi como chega na segunda frequência. Eu estou começando a estudar essa matéria agora, então ainda estou bem ruim kkkkkk.
- παθμ
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Out 2023
25
14:52
Re: Movimento Periódico e Oscilações
De nada! Perfeitamente normal cometer erros, ainda mais com matéria nova. Peço que, por favor, marque as soluções dos tópicos como aceitas
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Out 2023
25
14:57
Re: Movimento Periódico e Oscilações
Marquei já παθμ... estava tentando descobrir como fazer isso na real.
- naoseinada
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Out 2023
25
19:51
Re: Movimento Periódico e Oscilações
não entendi... preciso demonstrar os cálculos ou a resposta é só empírica?
- παθμ
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Out 2023
25
19:55
Re: Movimento Periódico e Oscilações
naoseinada, depois de ver os próximos itens eu percebi que era necessário elaborar os cálculos formalmente, usando as equações diferenciais. Eu fiz direitinho a partir desse tópico (o item b): viewtopic.php?f=10&t=107371naoseinada escreveu: ↑25 Out 2023, 19:51 não entendi... preciso demonstrar os cálculos ou a resposta é só empírica?
Obs: O que eu fiz no presente tópico não é "empírico". Tem rigor teórico sim. Só é um atalho, que existe graças à alta simetria do sistema.
- naoseinada
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Out 2023
25
20:08
Re: Movimento Periódico e Oscilações
eu não critiquei... estou aprendendo e realmente não entendi como vc chegou na resposta.
- παθμ
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Out 2023
25
20:20
Re: Movimento Periódico e Oscilações
O primeiro modo normal é quando [tex3]x_1(t)=x_2(t)[/tex3] a todo momento. Ou seja, sempre que uma massa está a uma distância [tex3]x[/tex3] à direita do seu ponto de equilíbrio, a outra também está a essa mesma distância à direita do seu ponto de equilíbrio, com a mesma velocidade da outra no mesmo sentido. A mola do meio sempre fica relaxada, pois a distância entre as massas é sempre [tex3]d.[/tex3] Daí, a força restauradora em uma das massas, quando ela se desloca de [tex3]x[/tex3] de sua posição de equilíbrio, é [tex3]kx.[/tex3] Ou seja, a constante de força do MHS é [tex3]k[/tex3] e a frequência angular é [tex3]\omega_1=\sqrt{k/m}.[/tex3]naoseinada escreveu: ↑25 Out 2023, 20:08 eu não critiquei... estou aprendendo e realmente não entendi como vc chegou na resposta.
O segundo é quando [tex3]x_1(t)=-x_2(t)[/tex3] a todo momento. Ou seja, sempre que uma massa está a uma distância [tex3]x[/tex3] à direita do seu ponto de equilíbrio, a outra está à mesma distância à esquerda do seu ponto de equilíbrio, e com velocidade de mesmo módulo da outra massa mas em sentido contrário. Daí, veja que sempre que uma massa está deslocada de [tex3]x[/tex3] em relação ao seu ponto de equilíbrio, tem uma força restauradora [tex3]kx[/tex3] da mola da parede e uma força restauradora [tex3]2Kx[/tex3] da mola do meio (pois a mola do meio está deformada de [tex3]2x[/tex3] ). Por isso, a força restauradora é [tex3](k+2K)x,[/tex3] a constante de força do MHS é [tex3]k+2K[/tex3] e a frequência angular é [tex3]\omega_2=\sqrt{\frac{k+2K}{m}}.[/tex3]
Foi isso o que eu fiz neste tópico, com mais detalhes. A questão também tem itens b) e c), que estão em outros tópicos.
Editado pela última vez por παθμ em 25 Out 2023, 20:20, em um total de 1 vez.
- naoseinada
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