IME / ITA ⇒ (ITA-1957) Trigonometria II Tópico resolvido

[Jigsaw]

1ª parte

1 – Definir radiano; escrever a relação entre os números que medem um ângulo em graus e radianos e justificar a relação.
Que se entendendo por arco orientado?
Dois ângulos [tex3]a[/tex3]

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[tex3]a[/tex3]

e [tex3]b[/tex3]

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[tex3]b[/tex3]

são medidos em radianos pelos números [tex3]0,5[/tex3]

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[tex3]0,5[/tex3]

e [tex3]0,5 + 6\pi[/tex3]

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[tex3]0,5 + 6\pi[/tex3]

. Qual o ângulo maior? Explicar a resposta.
2 – Provar que [tex3]1 +tg\ a=\frac{\sqrt{2}sen\ (a+45º)}{cos\ a}[/tex3]

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[tex3]1 +tg\ a=\frac{\sqrt{2}sen\ (a+45º)}{cos\ a}[/tex3]

. (Sugestão: tg 45º = 1)
3 – São dados os objetos [tex3]A, B, C, D[/tex3]

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[tex3]A, B, C, D[/tex3]

. Responder as perguntas seguintes (se tiverem sentido):
a) quantos são os arranjos desses objetos, tomados 3 a 3?
b) quantas as combinações, tomados 2 a 2?
c) quantas as permutações, tomados 3 a 3?
Escrever os arranjos desses objetos tomados 2 a 2; escrever as combinações 2 a 2; escrever as permutações dos 4 objetos. Em que se distinguem as combinações dos arranjos?
4 – A que distância do vértice, devemos cortar um cone de revolução, por um plano paralelo à base, de modo que o volume do cone destacado seja [tex3]\frac{1}{8}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{8}[/tex3]

do volume do primeiro cone?

Resposta

---

1) Resposta: a) Radiano é medida do ângulo central de uma circunferência que nela subtende um arco do comprimento igual ao raio da mesma; b) [tex3]\frac{x}{180}=\frac{y}{\pi}[/tex3]

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[tex3]\frac{x}{180}=\frac{y}{\pi}[/tex3]

; c) É um arco no qual se escolhe um sentido como positivo; d) O ângulo maior é aquele cuja medida é [tex3]0,5+6\pi[/tex3]

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[tex3]0,5+6\pi[/tex3]

.
2) Sugestão: [tex3]tg\ 45º=1[/tex3]

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[tex3]tg\ 45º=1[/tex3]

.
3) Resposta: a) 24; b) 6; c) Não tem sentido; d) AB, BA, AC, CA, AD, DA, BC, CB, BD, DB, CD, DC; e) AB, AC, AD, BC, BD, CD; f) São 24 permutações.
4) Resposta: [tex3]\frac{h}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{h}{2}[/tex3]

.
Fonte: Retirada do livro “Vestibulares de Matemática” por M. Silva Filho e G. Magarinos, pela Editora Nacionalista, em 1960.

OBS = Também mantive os quatro itens indicados na questão original, mesmo contrariando as regras do Fórum, no sentido de manter a originalidade da questão. Novamente não há necessidade de responder a todos os itens, mas qualquer item respondido será de enorme ajuda para os usuários do espaço.

[petras]

Jigsaw,

4) Cone original tem volume V e altura H.
Cone destacado volume V1 e altura h.
[tex3] V1=\frac{V}{8} \implies V = 8V1\\\\
\frac{V_1}{V}=(\frac{h}{H})^3 \implies \frac{V1}{8V1}=(\frac{h}{H})^3 \implies (\frac{h}{H})^3=\frac{1}{8}\\
\therefore\boxed{h= \frac{H}{2} }
[/tex3]

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[tex3] V1=\frac{V}{8} \implies V = 8V1\\\\
\frac{V_1}{V}=(\frac{h}{H})^3 \implies \frac{V1}{8V1}=(\frac{h}{H})^3 \implies (\frac{h}{H})^3=\frac{1}{8}\\
\therefore\boxed{h= \frac{H}{2} }
[/tex3]

[petras]

Jigsaw,

2) (√2).sen(a + 45º) = (√2).[sena.cos45º + cosa.sen45º]

(√2).sen(a + 45º) = (√2).[sena.(√2/2) + cosa.(√2/2)]

(√2).sen(a + 45º) = sena + cosa ---> I

(1 + tga).cosa = (1 + sena/cosa).cosa = sena + cosa ---> II

I = II


3) A(4, 3) = 4!/(4 - 3)! = 24

C(4, 2) = 4!/2!.(4 - 2!) - 24/2.2 = 6

Não existe permutação de P(3, 3) --> Existe P(6) = 6! = 720

Arranjo ---> a ordem dos elementos importa ---> AB ≠ BA
Combinação ---> a ordem não importa ---> AB = BA
(Solução:Elcioschin)

[petras]

Jigsaw,
1) Radiano é definido como quando temos um comprimento de arco igual ao raio da circunferência, onde este mesmo é delimitado por um ângulo central. Este ângulo mede aproximadamente 58 graus (Não foge muito de seu gabarito)

1.a) Uma ideia aqui é utilizar a fórmula l=α.R, onde l é o comprimeiro do arco, alfa o ângulo em radianos e R o raio.

l1 = 0,5.R1
l2 = 0,5 + 6π.R2
Supondo uma mesma circunferência, temos R1 = R2
l1/0,5 = l2/0,5 +6π
Ora, para essa proporção ser válida l2 precisa ser maior que l1, e como o ângulo central que define as delimitações de um arco, o ângulo de 0,5 +6π precisa ser maior.
(Solução:mestrefreire)