se alguém poder explicar a condição de deslocamento lateral mínimo, tipo ele vai contra a correnteza pra minimizar isso né?
gabarito:
Resposta
tmín = t [tex3]\frac{\sqrt{k^{2} -1}}{k}[/tex3]
Física I ⇒ Travessia no rio Tópico resolvido
Set 2023
17
22:36
Travessia no rio
Uma criança precisa de um barco para atravessar o rio. A velocidade da correnteza do rio é 𝑘 vezes maior que a velocidade do barco na água parada (𝑘 > 1). Se uma criança atravessa o rio de forma a minimizar o deslocamento lateral, leva tempo 𝑡 para atravessar. Qual é o tempo mínimo necessário para atravessar o rio?
se alguém poder explicar a condição de deslocamento lateral mínimo, tipo ele vai contra a correnteza pra minimizar isso né?
gabarito:
tmín = t [tex3]\frac{\sqrt{k^{2} -1}}{k}[/tex3]
se alguém poder explicar a condição de deslocamento lateral mínimo, tipo ele vai contra a correnteza pra minimizar isso né?
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tmín = t [tex3]\frac{\sqrt{k^{2} -1}}{k}[/tex3]
Set 2023
18
01:39
Boa noite!
Cara, que questão interessante!
Vamos lá, para melhor compreensão do problema, vc, em primeiro lugar, tem que entender que a trajetória 1, cuja distância é mínima, é diferente da trajetória 2, cujo o tempo é mínimo.
Trajetória 1:
Para calcular a distância mínima devemos achar a velocidade do barco em relação a terra [tex3]v_{b/t}[/tex3] por meio da seguinte expressão:
[tex3]\vec{v_{b/t}}=\vec{v_{b/c}}+\vec{v_{c/t}}[/tex3] em que [tex3]v_{b/c}[/tex3] é a velocidade do barco em relação a correnteza(velocidade do barco na água parada) e [tex3]v_{c/t}[/tex3] a velocidade da correnteza em relação a terra.
Dessa forma, precisamos representar essa soma vetorial no plano xy como mostra a figura correspondente. O deslocamento lateral mínimo, ocorre na distância mínima da travessia do barco.(obs: A distância mínima da travessia só é constante, e igual a L, quando a velocidade do barco em relação a correnteza é maior que a própria velocidade da correnteza. Quando isso não acontece, essa distância mínima tem que ser calculada por meio da soma vetorial que será desenvolvida abaixo).
Na figura da trajetória 1, percebe-se que, como a velocidade do barco em relação a terra tem que estar na direção da trajetória, a distância mínima ocorre quando o angulo [tex3]\theta[/tex3] é mínimo. Na mesma imagem, o círculo em azul representa as possíveis direções do vetor [tex3]v_{b/c}[/tex3] . Assim, nota-se que o [tex3]\theta_{min}[/tex3] será atingido quando o vetor [tex3]v_{b/t}[/tex3] tangenciar a circunferência em azul, formando um triângulo retângulo.
Por cinemática básica: [tex3]t={d_{min}\over v_{b/t}}[/tex3]
Pelo triângulo retângulo: [tex3]{v_{b/t}}^2 = {v_{c/t}}^2 - {v_{b/c}}^2 [/tex3]
Assumindo [tex3]v_{b/c}=v[/tex3]
[tex3]{v_{b/t}}^2 = {(kv)}^2 - v^2 [/tex3] -> [tex3]{v_{b/t}} = v\sqrt{({k^2 - 1)}} [/tex3]
Pela trigonometria no mesmo triângulo:
[tex3]\cos(\theta) = {L\over {d_{min}}} = {v\over{vk}} = {1\over{k}}[/tex3] - > [tex3]d_{min} = Lk[/tex3]
De tudo isso, temos a seguinte equação (I) : [tex3]t= {Lk\over{v\sqrt{({k^2 - 1)}}}}[/tex3]
Trajetória 2
O tempo mínimo ocorre quando o barco percorre a distância L com a maior velocidade (em y) possível. Consequentemente, o tempo mínimo irá acontecer: [tex3]t_{min}={L\over{v}}[/tex3] -> [tex3]L=vt_{min}[/tex3]
Substituindo L na equação (I): [tex3]t= {vt_{min}k\over{v\sqrt{({k^2 - 1)}}}}[/tex3] -> [tex3]t= {t_{min}k\over{\sqrt{({k^2 - 1)}}}}[/tex3]
Por fim: [tex3] {t\sqrt{(k^2 - 1)}\over{k}}= t_{min}[/tex3]
Questão intrigante e na boca para cair na segunda fase tanto de ITA quanto IME.
Espero ter ajudado! Qualquer dúvida estou a disposição, Fergos.
Cara, que questão interessante!
Vamos lá, para melhor compreensão do problema, vc, em primeiro lugar, tem que entender que a trajetória 1, cuja distância é mínima, é diferente da trajetória 2, cujo o tempo é mínimo.
Trajetória 1:
Para calcular a distância mínima devemos achar a velocidade do barco em relação a terra [tex3]v_{b/t}[/tex3] por meio da seguinte expressão:
[tex3]\vec{v_{b/t}}=\vec{v_{b/c}}+\vec{v_{c/t}}[/tex3] em que [tex3]v_{b/c}[/tex3] é a velocidade do barco em relação a correnteza(velocidade do barco na água parada) e [tex3]v_{c/t}[/tex3] a velocidade da correnteza em relação a terra.
Dessa forma, precisamos representar essa soma vetorial no plano xy como mostra a figura correspondente. O deslocamento lateral mínimo, ocorre na distância mínima da travessia do barco.(obs: A distância mínima da travessia só é constante, e igual a L, quando a velocidade do barco em relação a correnteza é maior que a própria velocidade da correnteza. Quando isso não acontece, essa distância mínima tem que ser calculada por meio da soma vetorial que será desenvolvida abaixo).
Na figura da trajetória 1, percebe-se que, como a velocidade do barco em relação a terra tem que estar na direção da trajetória, a distância mínima ocorre quando o angulo [tex3]\theta[/tex3] é mínimo. Na mesma imagem, o círculo em azul representa as possíveis direções do vetor [tex3]v_{b/c}[/tex3] . Assim, nota-se que o [tex3]\theta_{min}[/tex3] será atingido quando o vetor [tex3]v_{b/t}[/tex3] tangenciar a circunferência em azul, formando um triângulo retângulo.
Por cinemática básica: [tex3]t={d_{min}\over v_{b/t}}[/tex3]
Pelo triângulo retângulo: [tex3]{v_{b/t}}^2 = {v_{c/t}}^2 - {v_{b/c}}^2 [/tex3]
Assumindo [tex3]v_{b/c}=v[/tex3]
[tex3]{v_{b/t}}^2 = {(kv)}^2 - v^2 [/tex3] -> [tex3]{v_{b/t}} = v\sqrt{({k^2 - 1)}} [/tex3]
Pela trigonometria no mesmo triângulo:
[tex3]\cos(\theta) = {L\over {d_{min}}} = {v\over{vk}} = {1\over{k}}[/tex3] - > [tex3]d_{min} = Lk[/tex3]
De tudo isso, temos a seguinte equação (I) : [tex3]t= {Lk\over{v\sqrt{({k^2 - 1)}}}}[/tex3]
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O tempo mínimo ocorre quando o barco percorre a distância L com a maior velocidade (em y) possível. Consequentemente, o tempo mínimo irá acontecer: [tex3]t_{min}={L\over{v}}[/tex3] -> [tex3]L=vt_{min}[/tex3]
Substituindo L na equação (I): [tex3]t= {vt_{min}k\over{v\sqrt{({k^2 - 1)}}}}[/tex3] -> [tex3]t= {t_{min}k\over{\sqrt{({k^2 - 1)}}}}[/tex3]
Por fim: [tex3] {t\sqrt{(k^2 - 1)}\over{k}}= t_{min}[/tex3]
Questão intrigante e na boca para cair na segunda fase tanto de ITA quanto IME.
Espero ter ajudado! Qualquer dúvida estou a disposição, Fergos.
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